Номер 794, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 794, страница 202.

Условие.

794. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите первые три члена этой прогрессии, если известно, что b₁ + b₂ = 30, а b₂ + b₃ = 20.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2$

Согласно условию задачи, имеем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_2 = 30 \\ b_2 + b_3 = 20 \end{cases} $

Подставим в эту систему выражения для $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1 + b_1 \cdot q = 30 \\ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 20 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом из уравнений:

$ \begin{cases} b_1(1 + q) = 30 & (1) \\ b_1q(1 + q) = 20 & (2) \end{cases} $

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1). Это допустимо, поскольку из уравнения (1) следует, что $b_1(1 + q) \ne 0$.

$\frac{b_1q(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{20}{30}$

Сократив общие множители $b_1$ и $(1 + q)$, получим значение знаменателя $q$:

$q = \frac{2}{3}$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив найденное значение $q$ в уравнение (1):

$b_1(1 + \frac{2}{3}) = 30$

$b_1(\frac{3}{3} + \frac{2}{3}) = 30$

$b_1 \cdot \frac{5}{3} = 30$

$b_1 = 30 \cdot \frac{3}{5}$

$b_1 = 18$

Зная первый член и знаменатель прогрессии, найдем второй и третий члены:

$b_2 = b_1 \cdot q = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$

$b_3 = b_2 \cdot q = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$

Таким образом, первые три члена прогрессии: 18, 12, 8.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи:

$b_1 + b_2 = 18 + 12 = 30$ (верно)

$b_2 + b_3 = 12 + 8 = 20$ (верно)

Ответ: первые три члена прогрессии равны 18, 12 и 8.