Номер 800, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 800, страница 203.

Условие.

800. При каких значениях b:

а) значение дроби $\frac{12-1,5b}{5}$ меньше соответствующего значения дроби $\frac{11-0,5b}{2};$

б) значение дроби $\frac{1,4+b}{4}$ больше соответствующего значения дроби $\frac{2,6+3b}{2};$

в) значение дроби $\frac{6b-1}{b}$ не превосходит соответствующее значение дроби $\frac{16-2b}{9-b}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы найти значения b, при которых значение дроби $ \frac{12 - 1,5b}{5} $ меньше соответствующего значения дроби $ \frac{11 - 0,5b}{2} $, решим неравенство:

$ \frac{12 - 1,5b}{5} < \frac{11 - 0,5b}{2} $

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 10. Так как 10 > 0, знак неравенства не изменится.

$ 10 \cdot \frac{12 - 1,5b}{5} < 10 \cdot \frac{11 - 0,5b}{2} $

$ 2(12 - 1,5b) < 5(11 - 0,5b) $

Раскроем скобки:

$ 24 - 3b < 55 - 2,5b $

Сгруппируем слагаемые с переменной b в одной части, а свободные члены — в другой:

$ -3b + 2,5b < 55 - 24 $

$ -0,5b < 31 $

Разделим обе части на -0,5, изменив знак неравенства на противоположный:

$ b > \frac{31}{-0,5} $

$ b > -62 $

Ответ: $ b \in (-62; +\infty) $.

б) Чтобы найти значения b, при которых значение дроби $ \frac{2,6 + 3b}{2} $ больше соответствующего значения дроби $ \frac{1,4 + b}{4} $, решим неравенство:

$ \frac{2,6 + 3b}{2} > \frac{1,4 + b}{4} $

Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не изменится.

$ 4 \cdot \frac{2,6 + 3b}{2} > 4 \cdot \frac{1,4 + b}{4} $

$ 2(2,6 + 3b) > 1,4 + b $

Раскроем скобки:

$ 5,2 + 6b > 1,4 + b $

Сгруппируем слагаемые:

$ 6b - b > 1,4 - 5,2 $

$ 5b > -3,8 $

Разделим обе части на 5:

$ b > -\frac{3,8}{5} $

$ b > -0,76 $

Ответ: $ b \in (-0,76; +\infty) $.

в) Условие, что значение дроби $ \frac{6b - 1}{b} $ не превосходит соответствующее значение дроби $ \frac{16 - 2b}{9 - b} $, записывается в виде неравенства:

$ \frac{6b - 1}{b} \le \frac{16 - 2b}{9 - b} $

Перенесем все члены в левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ): $ b \ne 0 $ и $ 9 - b \ne 0 $, то есть $ b \ne 9 $.

$ \frac{6b - 1}{b} - \frac{16 - 2b}{9 - b} \le 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $ b(9 - b) $:

$ \frac{(6b - 1)(9 - b) - b(16 - 2b)}{b(9 - b)} \le 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(54b - 6b^2 - 9 + b) - (16b - 2b^2)}{b(9 - b)} \le 0 $

$ \frac{-6b^2 + 55b - 9 - 16b + 2b^2}{b(9 - b)} \le 0 $

$ \frac{-4b^2 + 39b - 9}{b(9 - b)} \le 0 $

Чтобы упростить анализ знаков, умножим числитель и знаменатель на -1. Это равносильно умножению дроби на $ \frac{-1}{-1} = 1 $, поэтому знак неравенства не изменится.

$ \frac{-1(-4b^2 + 39b - 9)}{-1(b(9 - b))} \le 0 $

$ \frac{4b^2 - 39b + 9}{b(b - 9)} \le 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя из уравнения $ 4b^2 - 39b + 9 = 0 $:

Дискриминант $ D = (-39)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1521 - 144 = 1377 $.

Корни: $ b_{1,2} = \frac{39 \pm \sqrt{1377}}{8} $. Эти точки войдут в решение, так как неравенство нестрогое.

Корни знаменателя: $ b = 0 $ и $ b = 9 $. Эти точки не войдут в решение (выколотые).

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания. Приближенные значения корней: $ \sqrt{1377} \approx 37,1 $, поэтому $ b_1 = \frac{39 - \sqrt{1377}}{8} \approx 0,24 $ и $ b_2 = \frac{39 + \sqrt{1377}}{8} \approx 9,64 $.

Критические точки: $0$, $ \frac{39 - \sqrt{1377}}{8} $, $9$, $ \frac{39 + \sqrt{1377}}{8} $.

Определим знаки выражения $ F(b) = \frac{4b^2 - 39b + 9}{b(b - 9)} $ на полученных интервалах. Выражение $ 4b^2 - 39b + 9 $ — парабола ветвями вверх, положительно вне корней и отрицательно между ними. Выражение $ b(b - 9) $ — парабола ветвями вверх, положительно вне корней и отрицательно между ними.

• Интервал $ \left(\frac{39 + \sqrt{1377}}{8}; +\infty\right) $: $ F(b) = \frac{+}{+} > 0 $.
• Интервал $ \left(9; \frac{39 + \sqrt{1377}}{8}\right) $: $ F(b) = \frac{-}{+} < 0 $. Подходит.
• Интервал $ \left(\frac{39 - \sqrt{1377}}{8}; 9\right) $: $ F(b) = \frac{-}{-} > 0 $.
• Интервал $ \left(0; \frac{39 - \sqrt{1377}}{8}\right) $: $ F(b) = \frac{+}{-} < 0 $. Подходит.
• Интервал $ (-\infty; 0) $: $ F(b) = \frac{+}{+} > 0 $.

Объединяя интервалы, где выражение меньше или равно нулю, получаем решение.

Ответ: $ b \in \left(0; \frac{39 - \sqrt{1377}}{8}\right] \cup \left(9; \frac{39 + \sqrt{1377}}{8}\right] $.