Номер 793, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 793, страница 202.

Условие.

793. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (b_n), если известно, что все члены последовательности положительны и b₃ = 20, а b₅ = 80.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $(b_n)$ — это данная геометрическая прогрессия, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи нам известны третий и пятый члены прогрессии: $b_3 = 20$ и $b_5 = 80$.

Связь между любыми двумя членами геометрической прогрессии $b_m$ и $b_k$ выражается формулой $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$. Воспользуемся этой формулой для $b_5$ и $b_3$:

$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$

Подставим известные значения и найдем знаменатель прогрессии $q$:

$80 = 20 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{80}{20} = 4$

Это уравнение имеет два корня: $q = 2$ и $q = -2$. Однако в условии сказано, что все члены последовательности положительны. Если бы знаменатель был отрицательным ($q = -2$), то знаки членов прогрессии чередовались бы, и они не могли бы быть все положительными. Следовательно, знаменатель прогрессии должен быть положительным, поэтому мы выбираем $q = 2$.

Теперь, зная знаменатель $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$, используя значение $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

$20 = b_1 \cdot 2^2$

$20 = b_1 \cdot 4$

$b_1 = \frac{20}{4} = 5$

Нам необходимо найти сумму первых семи членов прогрессии ($S_7$). Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в эту формулу найденные значения $b_1 = 5$, $q = 2$ и $n = 7$:

$S_7 = \frac{5(2^7 - 1)}{2 - 1}$

Вычислим $2^7 = 128$.

$S_7 = \frac{5(128 - 1)}{1} = 5 \cdot 127 = 635$

Ответ: 635.