Номер 789, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 789, страница 202.

Условие.

789. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии $(x_n)$ имеет вид:

$x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$

где $x_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а)

По условию нам даны восьмой член прогрессии $x_8 = -128$ и её знаменатель $q = -4$. Требуется найти первый член $x_1$.

Используем формулу n-го члена для $n=8$:

$x_8 = x_1 \cdot q^{8-1} = x_1 \cdot q^7$

Подставим известные значения в формулу:

$-128 = x_1 \cdot (-4)^7$

Сначала вычислим $(-4)^7$:

$(-4)^7 = -(4^7) = -( (2^2)^7 ) = -2^{14} = -16384$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$-128 = x_1 \cdot (-16384)$

Выразим $x_1$:

$x_1 = \frac{-128}{-16384} = \frac{128}{16384}$

Для упрощения дроби представим числитель и знаменатель как степени двойки:

$128 = 2^7$

$16384 = 2^{14}$

Тогда:

$x_1 = \frac{2^7}{2^{14}} = 2^{7-14} = 2^{-7} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{128}$.

б)

По условию нам даны первый член прогрессии $x_1 = 162$ и девятый член $x_9 = 2$. Требуется найти знаменатель прогрессии $q$.

Используем формулу n-го члена для $n=9$:

$x_9 = x_1 \cdot q^{9-1} = x_1 \cdot q^8$

Подставим известные значения в формулу:

$2 = 162 \cdot q^8$

Выразим $q^8$:

$q^8 = \frac{2}{162} = \frac{1}{81}$

Теперь нужно найти $q$, извлекая корень восьмой степени из обеих частей уравнения. Поскольку степень корня (8) чётная, возможны два действительных решения (положительное и отрицательное).

$q = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{81}}$

Упростим выражение под корнем, зная, что $81 = 3^4$:

$q = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{3^4}} = \pm \left(\frac{1}{3^4}\right)^{\frac{1}{8}} = \pm \frac{1}{3^{4/8}} = \pm \frac{1}{3^{1/2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Также можно рационализировать знаменатель:

$q = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $q = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.