Номер 792, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

792. Пятый член геометрической прогрессии $(b_n)$ равен $1\dfrac{1}{2}$, а знаменатель прогрессии равен $-\dfrac{1}{2}$. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

По условию задачи дан пятый член геометрической прогрессии $b_5 = 1\frac{1}{2}$ и ее знаменатель $q = -\frac{1}{2}$. Необходимо найти сумму первых пяти членов прогрессии $S_5$.

Решение:

1. Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=5$ формула примет вид: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Переведем заданный пятый член из смешанного числа в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $b_1$:

$\frac{3}{2} = b_1 \cdot (-\frac{1}{2})^4$

$\frac{3}{2} = b_1 \cdot \frac{1}{16}$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{3}{2} \div \frac{1}{16} = \frac{3}{2} \cdot 16 = 3 \cdot 8 = 24$.

2. Теперь, зная первый член $b_1 = 24$, знаменатель $q = -\frac{1}{2}$ и количество членов $n=5$, мы можем вычислить сумму первых пяти членов прогрессии по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим наши значения в формулу:

$S_5 = \frac{24 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^5)}{1 - (-\frac{1}{2})}$

Проведем вычисления поэтапно. Сначала вычислим степень знаменателя:

$(-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для суммы:

$S_5 = \frac{24 \cdot (1 - (-\frac{1}{32}))}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{24 \cdot (1 + \frac{1}{32})}{\frac{3}{2}} = \frac{24 \cdot \frac{33}{32}}{\frac{3}{2}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$S_5 = 24 \cdot \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3}$

Сократим полученное выражение:

$S_5 = \frac{24 \cdot 33 \cdot 2}{32 \cdot 3} = \frac{8 \cdot 3 \cdot 33 \cdot 2}{16 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{8 \cdot 33}{16} = \frac{33}{2}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$S_5 = \frac{33}{2} = 16\frac{1}{2}$

Ответ: $16\frac{1}{2}$.