Номер 806, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 806, страница 204.

Условие.

806. Найдите целые решения системы неравенств:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Для нахождения целых решений системы неравенств решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

$(3x + 2)^2 \ge (3x - 1)(3x + 1) - 31$

Раскроем скобки. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в правой части — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 \ge (3x)^2 - 1^2 - 31$

$9x^2 + 12x + 4 \ge 9x^2 - 1 - 31$

$9x^2 + 12x + 4 \ge 9x^2 - 32$

Сократим $9x^2$ в обеих частях и перенесем свободные члены вправо:

$12x \ge -32 - 4$

$12x \ge -36$

Разделим обе части на 12:

$x \ge -3$

2. Решим второе неравенство:

$(2x - 3)(8x + 5) < (4x - 3)^2 - 14$

Раскроем скобки в обеих частях:

$2x \cdot 8x + 2x \cdot 5 - 3 \cdot 8x - 3 \cdot 5 < (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 - 14$

$16x^2 + 10x - 24x - 15 < 16x^2 - 24x + 9 - 14$

$16x^2 - 14x - 15 < 16x^2 - 24x - 5$

Сократим $16x^2$ в обеих частях и перенесем члены с $x$ влево, а свободные члены вправо:

$-14x + 24x < -5 + 15$

$10x < 10$

Разделим обе части на 10:

$x < 1$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили два условия: $x \ge -3$ и $x < 1$. Решением системы является промежуток $[-3; 1)$.

Целыми решениями, принадлежащими этому промежутку, являются числа: -3, -2, -1, 0.

Ответ: -3, -2, -1, 0.

б)

Для нахождения целых решений системы неравенств решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

$(5x - 2)^2 + 36 > 5x(5x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$(5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 + 36 > 5x \cdot 5x - 5x \cdot 3$

$25x^2 - 20x + 4 + 36 > 25x^2 - 15x$

$25x^2 - 20x + 40 > 25x^2 - 15x$

Сократим $25x^2$ в обеих частях и сгруппируем члены:

$40 > -15x + 20x$

$40 > 5x$

Разделим обе части на 5:

$8 > x$, или $x < 8$

2. Решим второе неравенство:

$3x(4x + 2) + 40 \le 4x(3x + 7) - 4$

Раскроем скобки в обеих частях:

$12x^2 + 6x + 40 \le 12x^2 + 28x - 4$

Сократим $12x^2$ в обеих частях и перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:

$40 + 4 \le 28x - 6x$

$44 \le 22x$

Разделим обе части на 22:

$2 \le x$, или $x \ge 2$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили два условия: $x < 8$ и $x \ge 2$. Решением системы является промежуток $[2; 8)$.

Целыми решениями, принадлежащими этому промежутку, являются числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7.