Номер 809, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 809, страница 204.

Условие.

809. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Решим неравенство $x^2 + 2x - 15 < 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = 3$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 + 2x - 15$ направлены вверх. Неравенство $x^2 + 2x - 15 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-5; 3)$.
Ответ: $(-5; 3)$.

б) Решим неравенство $5x^2 - 11x + 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 11x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.
Корни: $x_1 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0,2$ и $x_2 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
Ветви параболы $y = 5x^2 - 11x + 2$ направлены вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $\ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше нее. Это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Следовательно, $x \in (-\infty; 0,2] \cup [2; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0,2] \cup [2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $10 - 3x^2 \le 5x - 2$.
Перенесем все члены в одну часть: $10 - 3x^2 - 5x + 2 \le 0$, что равносильно $-3x^2 - 5x + 12 \le 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $3x^2 + 5x - 12 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 12 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 13}{6} = -3$ и $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 13}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 5x - 12$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $\ge 0$ выполняется на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[\frac{4}{3}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -3] \cup [\frac{4}{3}; +\infty)$.

г) Решим неравенство $(2x + 3)(2 - x) > 3$.
Раскроем скобки и преобразуем неравенство: $4x - 2x^2 + 6 - 3x > 3$, что приводит к $-2x^2 + x + 6 - 3 > 0$, или $-2x^2 + x + 3 > 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $2x^2 - x - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 3$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $< 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, $x \in (-1; 1,5)$.
Ответ: $(-1; 1,5)$.

д) Решим неравенство $2x^2 - 0,5 \le 0$.
Это неполное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $2x^2 - 0,5 = 0$.
$2x^2 = 0,5$
$x^2 = 0,25$
$x_1 = -0,5$ и $x_2 = 0,5$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - 0,5$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая их.
Следовательно, $x \in [-0,5; 0,5]$.
Ответ: $[-0,5; 0,5]$.

е) Решим неравенство $3x^2 + 3,6x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(3x + 3,6) > 0$.
Найдем корни уравнения $x(3x + 3,6) = 0$.
$x_1 = 0$ или $3x + 3,6 = 0 \implies 3x = -3,6 \implies x_2 = -1,2$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 3,6x$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $> 0$ выполняется левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, $x \in (-\infty; -1,2) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1,2) \cup (0; +\infty)$.

ж) Решим неравенство $(0,2 - x)(0,2 + x) < 0$.
Используем формулу разности квадратов: $0,2^2 - x^2 < 0$, что равносильно $0,04 - x^2 < 0$.
Найдем корни уравнения $0,04 - x^2 = 0$.
$x^2 = 0,04$, откуда $x_1 = -0,2$ и $x_2 = 0,2$.
Ветви параболы $y = 0,04 - x^2$ направлены вниз ($a=-1 < 0$). Неравенство $< 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, $x \in (-\infty; -0,2) \cup (0,2; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -0,2) \cup (0,2; +\infty)$.

з) Решим неравенство $x(3x - 2,4) > 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $x(3x - 2,4) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $3x - 2,4 = 0 \implies 3x = 2,4 \implies x_2 = 0,8$.
Раскрыв скобки, получим $3x^2 - 2,4x > 0$. Ветви параболы $y = 3x^2 - 2,4x$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $> 0$ выполняется левее меньшего корня ($x=0$) и правее большего корня ($x=0,8$).
Следовательно, $x \in (-\infty; 0) \cup (0,8; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0,8; +\infty)$.

и) Решим неравенство $x^2 - 0,5x - 5 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 0,5x - 5 = 0$. Для удобства умножим уравнение на 2: $2x^2 - x - 10 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 9}{4} = -2$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 0,5x - 5$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $< 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, $x \in (-2; 2,5)$.
Ответ: $(-2; 2,5)$.

к) Решим неравенство $x^2 - 2x + 12,5 > 0$.
Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x + 12,5 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12,5 = 4 - 50 = -46$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), значит, ветви параболы $y = x^2 - 2x + 12,5$ направлены вверх, и вся парабола расположена выше оси Ox.
Следовательно, неравенство $x^2 - 2x + 12,5 > 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.