Номер 814, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 814, страница 205.

Условие.

814. При каких значениях x имеет смысл выражение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Выражение $\sqrt{12x - 4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

Составим и решим неравенство:

$12x - 4 \ge 0$

$12x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{12}$

$x \ge \frac{1}{3}$

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; +\infty)$.

б)

Выражение $\sqrt{3 - 0.6x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим неравенство:

$3 - 0.6x \ge 0$

$3 \ge 0.6x$

$x \le \frac{3}{0.6}$

$x \le 5$

Ответ: $x \in (-\infty; 5]$.

в)

Выражение $\sqrt{15 + 2x - x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим квадратное неравенство:

$15 + 2x - x^2 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 15 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3$; $x_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не больше нуля ($y \le 0$) на промежутке между корнями (включая сами корни).

Следовательно, $-3 \le x \le 5$.

Ответ: $x \in [-3; 5]$.

г)

Выражение $\sqrt{2x^2 + x - 6}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим квадратное неравенство:

$2x^2 + x - 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 + x - 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = -2$; $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.

Графиком функции $y = 2x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не меньше нуля ($y \ge 0$) на промежутках вне корней (включая сами корни).

Следовательно, $x \le -2$ или $x \ge 1.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1.5; +\infty)$.

д)

Выражение $\sqrt{12 - 5x} + \sqrt{2x - 1}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны одновременно. Это приводит к системе неравенств.

$\begin{cases} 12 - 5x \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $12 - 5x \ge 0 \implies 12 \ge 5x \implies x \le \frac{12}{5} \implies x \le 2.4$.

2) $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2} \implies x \ge 0.5$.

Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть все $x$, удовлетворяющие условию $0.5 \le x \le 2.4$.

Ответ: $x \in [0.5; 2.4]$.

е)

Выражение $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{3x - 17}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны.

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 4 \ge 0 \\ 3x - 17 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $x^2 + 4 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, сумма $x^2 + 4$ всегда будет положительной (не меньше 4). Таким образом, это неравенство выполняется для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $3x - 17 \ge 0 \implies 3x \ge 17 \implies x \ge \frac{17}{3}$.

Общим решением системы является пересечение решений, что соответствует второму неравенству.

Ответ: $x \in [\frac{17}{3}; +\infty)$.