Номер 815, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

815. Найдите область определения каждого из выражений:

а)

1. Для выражения $2x - 5$:

Это выражение является многочленом (линейной функцией). Область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Для выражения $\frac{1}{2x - 5}$:

Это дробно-рациональное выражение. Оно определено, когда его знаменатель не равен нулю.

$2x - 5 \neq 0$

$2x \neq 5$

$x \neq 2.5$

Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме $2.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2.5) \cup (2.5; +\infty)$.

3. Для выражения $\sqrt{2x - 5}$:

Это выражение с квадратным корнем. Оно определено, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

$2x - 5 \ge 0$

$2x \ge 5$

$x \ge 2.5$

Следовательно, область определения — это все действительные числа, большие или равные $2.5$.

Ответ: $x \in [2.5; +\infty)$.

б)

1. Для выражения $2x^2 + 7x - 4$:

Это квадратичный многочлен. Область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Для выражения $\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}$:

Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив квадратное уравнение $2x^2 + 7x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

Значит, область определения исключает эти два значения.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 0.5) \cup (0.5; +\infty)$.

3. Для выражения $\sqrt{\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}}$:

Подкоренное выражение $\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}$ должно быть неотрицательным. Так как числитель $1$ является положительным числом, для этого необходимо, чтобы знаменатель был строго положительным.

$2x^2 + 7x - 4 > 0$.

Мы уже нашли корни уравнения $2x^2 + 7x - 4 = 0$: это $x_1 = -4$ и $x_2 = 0.5$. Графиком функции $y = 2x^2 + 7x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < -4$ или $x > 0.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$.

в)

1. Для выражения $x^2 + 1$:

Это квадратичный многочлен. Область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Для выражения $\sqrt{x^2 + 1}$:

Подкоренное выражение $x^2 + 1$ должно быть неотрицательным.

$x^2 + 1 \ge 0$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, подкоренное выражение всегда положительно. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3. Для выражения $\frac{1}{x^2 + 1}$:

Знаменатель дроби $x^2 + 1$ не должен равняться нулю. Как мы установили в предыдущем пункте, $x^2 + 1 \ge 1$ для всех действительных $x$. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.