Номер 889, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

889. Решите уравнение

Исходное уравнение:
$\sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - x)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - x^2} = 0$
Заметим, что подкоренное выражение в третьем слагаемом можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $65^2 - x^2 = (65 - x)(65 + x)$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{uv} = \sqrt[n]{u}\sqrt[n]{v}$, перепишем уравнение:
$\sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - x)^2} - 5\sqrt[3]{(65 + x)}\sqrt[3]{(65 - x)} = 0$
Для упрощения уравнения введем замены. Пусть $a = \sqrt[3]{65 + x}$ и $b = \sqrt[3]{65 - x}$.
Тогда, используя свойство степеней $(\sqrt[n]{z})^m = \sqrt[n]{z^m}$, уравнение преобразуется к виду:
$a^2 + 4b^2 - 5ab = 0$
Перепишем его как квадратное уравнение относительно $a$:
$a^2 - 5ab + 4b^2 = 0$
Это однородное уравнение второй степени. Чтобы решить его, рассмотрим возможность деления на $b^2$. Для этого проверим, может ли $b$ равняться нулю.
Если $b=0$, то $\sqrt[3]{65 - x} = 0$, откуда $65 - x = 0$ и $x = 65$.
При $x = 65$ переменная $a$ принимает значение $a = \sqrt[3]{65 + 65} = \sqrt[3]{130} \neq 0$.
Однако, если подставить $b = 0$ в уравнение $a^2 - 5ab + 4b^2 = 0$, мы получим $a^2 = 0$, что означает $a = 0$.
Возникло противоречие ($a$ не может быть одновременно равным $\sqrt[3]{130}$ и $0$), следовательно, $b \neq 0$.
Так как $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения $a^2 - 5ab + 4b^2 = 0$ на $b^2$:
$(\frac{a}{b})^2 - 5(\frac{a}{b}) + 4 = 0$
Введем новую переменную $t = \frac{a}{b}$. Уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения:
$t^2 - 5t + 4 = 0$
Решая это уравнение (например, по теореме Виета, где сумма корней равна 5, а произведение равно 4), находим его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

1. Рассматриваем случай $t = 1$:
$\frac{a}{b} = 1 \implies a = b$
Подставляем обратно выражения для $a$ и $b$:
$\sqrt[3]{65 + x} = \sqrt[3]{65 - x}$
Возводим обе части уравнения в третью степень:
$65 + x = 65 - x$
$2x = 0$
$x_1 = 0$

2. Рассматриваем случай $t = 4$:
$\frac{a}{b} = 4 \implies a = 4b$
Подставляем обратно выражения для $a$ и $b$:
$\sqrt[3]{65 + x} = 4\sqrt[3]{65 - x}$
Возводим обе части уравнения в третью степень:
$65 + x = 4^3 (65 - x)$
$65 + x = 64(65 - x)$
$65 + x = 64 \cdot 65 - 64x$
$x + 64x = 64 \cdot 65 - 65$
$65x = 63 \cdot 65$
Разделив обе части на 65, получаем:
$x_2 = 63$

Таким образом, мы получили два корня: $0$ и $63$. Выполним проверку.
При $x=0$: $\sqrt[3]{(65+0)^2} + 4\sqrt[3]{(65-0)^2} - 5\sqrt[3]{65^2-0^2} = \sqrt[3]{65^2} + 4\sqrt[3]{65^2} - 5\sqrt[3]{65^2} = 0$. Верно.
При $x=63$: $\sqrt[3]{(65+63)^2} + 4\sqrt[3]{(65-63)^2} - 5\sqrt[3]{65^2-63^2} = \sqrt[3]{128^2} + 4\sqrt[3]{2^2} - 5\sqrt[3]{(2)(128)} = \sqrt[3]{(2^7)^2} + 4\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{2^8} = 2^4\sqrt[3]{2^2} + 4\sqrt[3]{4} - 5 \cdot 2^2\sqrt[3]{4} = 16\sqrt[3]{4} + 4\sqrt[3]{4} - 20\sqrt[3]{4} = 0$. Верно.
Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: $0; 63$.