Номер 891, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 891, страница 213.

Условие.

891. Изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют системе:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ |x| \ge 1. \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R_1 = \sqrt{4} = 2$. Геометрически это замкнутый круг.

Второе неравенство $|x| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$.

• Неравенство $x \ge 1$ задает правую полуплоскость, включая границу — прямую $x=1$.
• Неравенство $x \le -1$ задает левую полуплоскость, включая границу — прямую $x=-1$.

Объединение этих двух полуплоскостей представляет собой всю координатную плоскость, за исключением открытой вертикальной полосы, заключенной между прямыми $x=-1$ и $x=1$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Таким образом, искомое множество точек — это часть круга радиусом 2, которая лежит в полуплоскостях $x \ge 1$ и $x \le -1$. Это круг, из которого вырезали вертикальную полосу $-1 < x < 1$. Поскольку все неравенства нестрогие, границы получившейся фигуры включаются в множество.

Ответ: Искомое множество — это круг с центром в начале координат и радиусом 2, из которого удалена открытая вертикальная полоса, ограниченная прямыми $x=-1$ и $x=1$. Фигура состоит из двух сегментов круга, симметричных относительно оси OY, включая их границы.

б) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ |y| \ge 2. \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R_2 = \sqrt{9} = 3$. Геометрически это замкнутый круг.

Второе неравенство $|y| \ge 2$ равносильно совокупности двух неравенств: $y \ge 2$ или $y \le -2$.

• Неравенство $y \ge 2$ задает верхнюю полуплоскость, включая границу — прямую $y=2$.
• Неравенство $y \le -2$ задает нижнюю полуплоскость, включая границу — прямую $y=-2$.

Объединение этих двух полуплоскостей представляет собой всю координатную плоскость, за исключением открытой горизонтальной полосы, заключенной между прямыми $y=-2$ и $y=2$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Таким образом, искомое множество точек — это часть круга радиусом 3, которая лежит в полуплоскостях $y \ge 2$ и $y \le -2$. Это круг, из которого вырезали горизонтальную полосу $-2 < y < 2$. Поскольку все неравенства нестрогие, границы получившейся фигуры включаются в множество.

Ответ: Искомое множество — это круг с центром в начале координат и радиусом 3, из которого удалена открытая горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y=-2$ и $y=2$. Фигура состоит из двух сегментов круга, симметричных относительно оси OX, включая их границы.