Номер 888, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 888, страница 213.

Условие.

888. Докажите, что не существует натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конец числа увеличилось бы в 5 раз.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Допустим, такое натуральное число существует. Обозначим его через $N$.

Пусть $n$ — количество цифр в числе $N$ (где $n \ge 1$), $d$ — его первая цифра ($d \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $M$ — число, образованное остальными $n-1$ цифрами. Тогда исходное число $N$ можно представить в виде:

$N = d \cdot 10^{n-1} + M$

Здесь $M$ — это целое число, удовлетворяющее условию $0 \le M < 10^{n-1}$.

После перестановки первой цифры $d$ в конец числа мы получаем новое число $N'$. Его можно представить как:

$N' = M \cdot 10 + d$

По условию задачи, новое число в 5 раз больше исходного:

$N' = 5N$

Подставим выражения для $N$ и $N'$ в это равенство:

$10M + d = 5 \cdot (d \cdot 10^{n-1} + M)$

Теперь проведем анализ этого утверждения с другой стороны. Поскольку $N$ является $n$-значным числом, оно находится в пределах:

$10^{n-1} \le N < 10^n$

Число $N'$, полученное перестановкой цифр, также является $n$-значным. Следовательно:

$10^{n-1} \le N' < 10^n$

Заменим $N'$ на $5N$ в этом неравенстве:

$10^{n-1} \le 5N < 10^n$

Рассмотрим правую часть этого двойного неравенства: $5N < 10^n$. Разделим обе части на 5:

$N < \frac{10^n}{5}$

$N < 2 \cdot 10^{n-1}$

Итак, мы имеем систему неравенств для $N$:

$\begin{cases} N \ge 10^{n-1} \\ N < 2 \cdot 10^{n-1} \end{cases}$

Из этих неравенств следует, что первая цифра числа $N$, то есть $d$, может быть только 1. Любое $n$-значное число, начинающееся с 2 или большей цифры, будет не меньше, чем $2 \cdot 10^{n-1}$.

Таким образом, мы установили, что если искомое число существует, его первая цифра $d=1$.

Теперь подставим значение $d=1$ в наше основное уравнение $10M + d = 5(d \cdot 10^{n-1} + M)$:

$10M + 1 = 5(1 \cdot 10^{n-1} + M)$

$10M + 1 = 5 \cdot 10^{n-1} + 5M$

Соберем члены с $M$ в левой части, а остальные — в правой:

$10M - 5M = 5 \cdot 10^{n-1} - 1$

$5M = 5 \cdot 10^{n-1} - 1$

Проанализируем полученное равенство. Левая часть, $5M$, очевидно, делится на 5 без остатка, так как $M$ — целое число.

Правая часть, $5 \cdot 10^{n-1} - 1$. Для любого натурального $n \ge 1$ число $5 \cdot 10^{n-1}$ оканчивается на 0 (например, 5, 50, 500, ...). Следовательно, число $5 \cdot 10^{n-1} - 1$ всегда будет оканчиваться на цифру 9 (например, 4, 49, 499, ...). Число, оканчивающееся на 9, не делится на 5 нацело.

Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения делится на 5, а правая — нет. Такое равенство для целых чисел невозможно.

Противоречие доказывает, что наше первоначальное допущение о существовании такого числа было неверным.

Ответ: Не существует такого натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конец увеличилось бы в 5 раз, что и требовалось доказать.