Номер 830, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 830, страница 207.

Условие.

830. Вычислите координаты точек пересечения графиков функций:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения координат точек пересечения графиков двух функций необходимо решить систему уравнений, состоящую из этих функций. Это эквивалентно приравниванию правых частей уравнений и нахождению значения переменной $x$, а затем вычислению соответствующего значения $y$.

а) Даны функции $y = 2x - 11$ и $y = -5x + 3$.

Приравняем правые части уравнений:

$2x - 11 = -5x + 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x + 5x = 3 + 11$

$7x = 14$

$x = \frac{14}{7} = 2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Например, в первое:

$y = 2(2) - 11 = 4 - 11 = -7$

Координаты точки пересечения — $(2, -7)$.

Ответ: $(2, -7)$

б) Даны функции $y = -3x - 10$ и $y = x^2 - 13x + 6$.

Приравняем правые части уравнений:

$-3x - 10 = x^2 - 13x + 6$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 13x + 3x + 6 + 10 = 0$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $10$, а произведение равно $16$. Корни — это $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = -3(2) - 10 = -6 - 10 = -16$

Первая точка пересечения — $(2, -16)$.

При $x_2 = 8$:

$y_2 = -3(8) - 10 = -24 - 10 = -34$

Вторая точка пересечения — $(8, -34)$.

Ответ: $(2, -16)$ и $(8, -34)$

в) Даны функции $y = -3x^2 + x - 3$ и $y = -x^2 + x - 5$.

Приравняем правые части уравнений:

$-3x^2 + x - 3 = -x^2 + x - 5$

Соберем слагаемые с $x^2$ в левой части, а свободные члены — в правой. Слагаемые с $x$ взаимно уничтожаются.

$-3x^2 + x^2 = -5 + 3$

$-2x^2 = -2$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в уравнение $y = -x^2 + x - 5$.

При $x_1 = 1$:

$y_1 = -(1)^2 + 1 - 5 = -1 + 1 - 5 = -5$

Первая точка пересечения — $(1, -5)$.

При $x_2 = -1$:

$y_2 = -(-1)^2 + (-1) - 5 = -1 - 1 - 5 = -7$

Вторая точка пересечения — $(-1, -7)$.

Ответ: $(1, -5)$ и $(-1, -7)$

г) Даны функции $y = 4x^2 + 3x + 6$ и $y = 3x^2 - 3x - 3$.

Приравняем правые части уравнений:

$4x^2 + 3x + 6 = 3x^2 - 3x - 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - 3x^2 + 3x + 3x + 6 + 3 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x + 3)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень (кратности 2): $x = -3$. Это означает, что параболы касаются в одной точке.

Найдем значение $y$, подставив $x = -3$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе:

$y = 3(-3)^2 - 3(-3) - 3 = 3(9) + 9 - 3 = 27 + 9 - 3 = 33$

Координаты точки касания (пересечения) — $(-3, 33)$.

Ответ: $(-3, 33)$