Номер 825, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 825, страница 207.

Условие.

825. Постройте график функции y = x² – 4x – 5. При каких значениях x функция принимает отрицательные значения? Какие значения принимает функция, если 0 ≤ x ≤ 4?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Построение графика функции $y = x^2 - 4x - 5$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля ($a > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Ордината вершины — это значение функции в точке $x_0$:
$y_0 = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -9)$.

2. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью OY (абсцисса $x=0$):
$y = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$.
Точка пересечения с осью OY: $(0, -5)$.
С осью OX (ордината $y=0$):
$x^2 - 4x - 5 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек для точности построения.
Ось симметрии параболы — прямая $x=2$. Найдем точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно этой оси. Ее абсцисса будет $x = 4$. Значение функции в этой точке: $y(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$. Точка $(4, -5)$.
Возьмем $x=1$: $y(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 - 5 = 1 - 4 - 5 = -8$. Точка $(1, -8)$.
Симметричная ей точка будет при $x=3$: $y(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 - 5 = 9 - 12 - 5 = -8$. Точка $(3, -8)$.

Теперь можно построить график, используя найденные точки: вершину $(2, -9)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -5)$ и дополнительные точки $(4, -5)$, $(1, -8)$, $(3, -8)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4x - 5$ — это парабола с вершиной в точке $(2, -9)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(5, 0)$ и ось OY в точке $(0, -5)$.

При каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения?

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси OX. Из предыдущего анализа мы знаем, что парабола пересекает ось OX в точках $x = -1$ и $x = 5$, и ее ветви направлены вверх. Следовательно, значения функции будут отрицательными на интервале между точками пересечения.

Необходимо решить неравенство $x^2 - 4x - 5 < 0$. Корнями уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Так как это парабола ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Ответ: Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-1, 5)$.

Какие значения принимает функция, если $0 \le x \le 4$?

Необходимо найти область значений функции на отрезке $[0, 4]$. Это значит, нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке.

1. Наименьшее значение.
Вершина параболы $x_0=2$ принадлежит отрезку $[0, 4]$. Так как ветви параболы направлены вверх, то в вершине функция достигает своего наименьшего значения. $y_{min} = y(2) = -9$.

2. Наибольшее значение.
Наибольшее значение на отрезке для параболы с вершиной внутри этого отрезка достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$.
$y(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$.
Наибольшее значение функции на отрезке $[0, 4]$ равно $-5$.

Таким образом, когда $x$ изменяется от $0$ до $4$, значения функции $y$ изменяются от $-9$ (включительно) до $-5$ (включительно).

Ответ: Если $0 \le x \le 4$, то функция принимает значения из отрезка $[-9, -5]$, то есть $-9 \le y \le -5$.