Номер 826, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

826. Постройте график функции:

В каждом случае укажите наименьшее (или наибольшее) значение функции.

а) $y = 2x^2 - 2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$.
Ордината вершины: $y_0 = y(x_0) = 2(0)^2 - 2 = -2$.
Вершина находится в точке $(0, -2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=0$ (ось OY).

2. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y=-2$. Точка пересечения $(0, -2)$, что совпадает с вершиной.
С осью OX: при $y=0$, имеем $2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.
Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек для построения.
Возьмем $x=2$, тогда $y = 2(2)^2 - 2 = 8 - 2 = 6$. Точка $(2, 6)$.
В силу симметрии относительно оси $x=0$, при $x=-2$ значение $y$ будет таким же: $y=6$. Точка $(-2, 6)$.

Для построения графика отмечаем на координатной плоскости вершину $(0, -2)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и дополнительные точки $(-2, 6)$, $(2, 6)$, после чего плавно соединяем их линией.

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно ее ординате.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -2$.

б) $y = -x^2 + 1,5$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
Ордината вершины: $y_0 = y(x_0) = -(0)^2 + 1,5 = 1,5$.
Вершина находится в точке $(0, 1,5)$. Ось симметрии — прямая $x=0$.

2. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y=1,5$. Точка пересечения $(0, 1,5)$ (вершина).
С осью OX: при $y=0$, имеем $-x^2 + 1,5 = 0 \Rightarrow x^2 = 1,5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{1,5} \approx \pm 1,22$.
Точки пересечения с осью OX: $(-\sqrt{1,5}, 0)$ и $(\sqrt{1,5}, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
При $x=1$, $y = -(1)^2 + 1,5 = 0,5$. Точка $(1, 0,5)$.
При $x=2$, $y = -(2)^2 + 1,5 = -4 + 1,5 = -2,5$. Точка $(2, -2,5)$.
В силу симметрии, получаем точки $(-1, 0,5)$ и $(-2, -2,5)$.

Для построения графика отмечаем вершину $(0, 1,5)$, точки пересечения с осью OX $(\approx-1,22; 0)$ и $(\approx1,22; 0)$, а также дополнительные точки $(1, 0,5)$, $(-1, 0,5)$, $(2, -2,5)$, $(-2, -2,5)$ и соединяем их плавной кривой.

Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 1,5$.

в) $y = x^2 - 4x$

График функции — парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a=1 > 0$. Функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_0 = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.
Вершина: $(2, -4)$. Ось симметрии: $x=2$.

2. Найдем точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4)=0 \Rightarrow x_1=0, x_2=4$.
Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

3. Дополнительные точки.
При $x=1$, $y = 1^2 - 4(1) = -3$. Точка $(1, -3)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=2$ будет $(3, -3)$. Проверим: $y=3^2-4(3)=9-12=-3$.

Для построения графика отмечаем вершину $(2, -4)$, точки $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(1, -3)$, $(3, -3)$ и соединяем их.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -4$.

г) $y = 1,5x^2 + 6x$

График — парабола с ветвями вверх ($a=1,5 > 0$). Функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1,5} = -\frac{6}{3} = -2$.
$y_0 = 1,5(-2)^2 + 6(-2) = 1,5 \cdot 4 - 12 = 6 - 12 = -6$.
Вершина: $(-2, -6)$. Ось симметрии: $x=-2$.

2. Найдем точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $1,5x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x(1,5x+6)=0 \Rightarrow x_1=0$ или $1,5x=-6 \Rightarrow x_2=-4$.
Точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

3. Дополнительные точки.
При $x=-1$, $y = 1,5(-1)^2 + 6(-1) = 1,5 - 6 = -4,5$. Точка $(-1, -4,5)$.
Симметричная точка: $(-3, -4,5)$.

Для построения графика отмечаем вершину $(-2, -6)$, точки $(0, 0)$, $(-4, 0)$, $(-1, -4,5)$, $(-3, -4,5)$ и соединяем их плавной кривой.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -6$.

д) $y = x^2 + x - 6$

График — парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0,5$.
$y_0 = (-0,5)^2 + (-0,5) - 6 = 0,25 - 0,5 - 6 = -6,25$.
Вершина: $(-0,5; -6,25)$. Ось симметрии: $x=-0,5$.

2. Найдем точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y=-6$. Точка $(0, -6)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=-3$.
Точки $(2, 0)$ и $(-3, 0)$.

3. Дополнительные точки.
Из симметрии относительно оси $x=-0,5$ для точки $(0, -6)$ находим симметричную точку $(-1, -6)$.

Для построения графика отмечаем вершину $(-0,5; -6,25)$, точки $(2, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, -6)$, $(-1, -6)$ и соединяем их.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -6,25$.

е) $y = 3x^2 - 6x + 5$

График — парабола с ветвями вверх ($a=3 > 0$). Функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
$y_0 = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 3 - 6 + 5 = 2$.
Вершина: $(1, 2)$. Ось симметрии: $x=1$.

2. Найдем точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.
С осью OX: при $y=0$, $3x^2 - 6x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX. Это согласуется с тем, что вершина находится в точке $(1,2)$ и ветви направлены вверх.

3. Дополнительные точки.
Используем точку $(0, 5)$ и ось симметрии $x=1$, чтобы найти симметричную ей точку $(2, 5)$.
При $x=3$, $y = 3(3)^2 - 6(3) + 5 = 27 - 18 + 5 = 14$. Точка $(3, 14)$.

Для построения графика отмечаем вершину $(1, 2)$, точки $(0, 5)$, $(2, 5)$ и соединяем их плавной кривой.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 2$.