Номер 823, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 823, страница 207.

Условие.

823. Функция задана формулой y = –x² + 3. Какова область определения этой функции? Найдётся ли такое значение аргумента, при котором значение этой функции равно –1; 1; 5? Постройте график этой функции и укажите множество её значений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Область определения функции

Функция задана формулой $y = -x^2 + 3$. Это квадратичная функция, которая является многочленом. Выражение $-x^2 + 3$ определено для любых действительных значений аргумента $x$, так как операции возведения в квадрат, умножения и сложения выполнимы для всех действительных чисел. В функции отсутствуют операции, которые могли бы ограничить область определения (например, деление на переменную или извлечение корня четной степени из переменного выражения).

Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдётся ли такое значение аргумента, при котором значение этой функции равно -1; 1; 5?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо решить уравнение $y = -x^2 + 3$ для каждого из предложенных значений $y$.

1. Пусть $y = -1$:
$-1 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 + 1$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$.
Следовательно, при $x=2$ и $x=-2$ значение функции равно -1.

2. Пусть $y = 1$:
$1 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 - 1$
$x^2 = 2$
$x = \pm \sqrt{2}$.
Следовательно, при $x=\sqrt{2}$ и $x=-\sqrt{2}$ значение функции равно 1.

3. Пусть $y = 5$:
$5 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 - 5$
$x^2 = -2$.
Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: Да, найдётся: значение функции равно -1 при $x = \pm 2$ и равно 1 при $x = \pm \sqrt{2}$. Не существует такого значения аргумента, при котором значение функции было бы равно 5.

Постройте график этой функции и укажите множество её значений

Построение графика:
Графиком функции $y = -x^2 + 3$ является парабола. Для её построения определим ключевые параметры и точки.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен -1. Так как он отрицателен, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для $y = -x^2 + 3$ имеем $a=-1, b=0, c=3$.
   $x_v = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
   $y_v = -(0)^2 + 3 = 3$.
   Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$.
3. Точки пересечения с осями.
   - С осью OY: при $x=0, y=3$. Точка $(0, 3)$.
   - С осью OX: при $y=0$, получаем $0 = -x^2 + 3$, откуда $x^2=3$, то есть $x = \pm\sqrt{3}$. Точки $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$.
4. Дополнительные точки. Для большей точности построения используем найденные ранее точки:
   - Если $x = \pm 1$, то $y = -(\pm 1)^2 + 3 = 2$. Точки $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.
   - Если $x = \pm 2$, то $y = -(\pm 2)^2 + 3 = -1$. Точки $(2, -1)$ и $(-2, -1)$.

Построив на координатной плоскости вершину, точки пересечения с осями и дополнительные точки, соединяем их плавной линией, получая параболу.

Множество значений функции:
Так как график функции — парабола с ветвями, направленными вниз, и её вершина находится в точке $(0, 3)$, то максимальное значение функции равно 3. Функция принимает все значения от $-\infty$ до 3 включительно.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 3)$ и ветвями, направленными вниз. Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; 3]$.