Номер 824, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

824. Постройте график функции y = –0,5x² + x + 1,5. При каких значениях x значение y равно нулю; больше нуля; меньше нуля? На каком промежутке эта функция возрастает и на каком промежутке убывает? Каково наибольшее значение этой функции?

Для того чтобы построить график функции $y = -0,5x^2 + x + 1,5$ и ответить на поставленные вопросы, необходимо исследовать эту функцию.

1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Так как коэффициент при старшем члене $a = -0,5$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Координата $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = \frac{-b}{2a}$. Для нашей функции $a=-0,5$ и $b=1$.
$x_0 = \frac{-1}{2 \cdot (-0,5)} = \frac{-1}{-1} = 1$.
Чтобы найти $y_0$, подставим $x_0=1$ в уравнение функции:
$y_0 = -0,5(1)^2 + 1 + 1,5 = -0,5 + 1 + 1,5 = 2$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1; 2)$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
Точка пересечения с осью $Oy$ находится при $x=0$:
$y = -0,5(0)^2 + 0 + 1,5 = 1,5$.
Точка пересечения — $(0; 1,5)$.
Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции) находятся при $y=0$. Для этого решим квадратное уравнение:
$-0,5x^2 + x + 1,5 = 0$.
Умножим обе части уравнения на -2 для удобства вычислений:
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
Точки пересечения с осью $Ox$ — $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.

4. Для построения графика мы используем найденные точки: вершину $(1; 2)$, точки пересечения с осями $(-1; 0)$, $(3; 0)$, $(0; 1,5)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=1$. Используя симметрию, находим еще одну точку: точка, симметричная точке $(0; 1,5)$ относительно оси $x=1$, будет иметь координаты $(2; 1,5)$. Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы.

Теперь, основываясь на проведенном анализе, ответим на вопросы.

При каких значениях x значение y равно нулю; больше нуля; меньше нуля?

Значение $y$ равно нулю в нулях функции, которые мы нашли ранее. Это происходит, когда график пересекает ось $Ox$.
$y=0$ при $x=-1$ и $x=3$.
Значение $y$ больше нуля ($y>0$), когда график функции расположен выше оси $Ox$. Так как ветви параболы направлены вниз, это интервал между корнями.
$y>0$ при $x \in (-1; 3)$.
Значение $y$ меньше нуля ($y<0$), когда график функции расположен ниже оси $Ox$. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.
$y<0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $y=0$ при $x=-1$ и $x=3$; $y>0$ при $x \in (-1; 3)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

На каком промежутке эта функция возрастает и на каком промежутке убывает?

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке до своей вершины и убывает на промежутке после нее. Абсцисса вершины $x_0=1$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$.
Функция убывает на промежутке $[1; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

Каково наибольшее значение этой функции?

Наибольшее значение функции достигается в ее вершине, поскольку ветви параболы направлены вниз. Ордината вершины $y_0 = 2$.
Следовательно, наибольшее значение функции $y_{max} = 2$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 2.