Номер 617, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

617. Вычислите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии, если:

Для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $c_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов. Во всех случаях $n=9$.

а) Дано: $c_1 = -4$, $q = 3$.

Подставим значения в формулу суммы:

$S_9 = \frac{-4(3^9 - 1)}{3 - 1}$

Вычислим $3^9$:

$3^9 = 19683$

Теперь найдем сумму:

$S_9 = \frac{-4(19683 - 1)}{2} = \frac{-4 \cdot 19682}{2} = -2 \cdot 19682 = -39364$

Ответ: $-39364$

б) Дано: $c_1 = 1$, $q = -2$.

Подставим значения в формулу:

$S_9 = \frac{1 \cdot ((-2)^9 - 1)}{-2 - 1}$

Вычислим $(-2)^9$:

$(-2)^9 = -512$

Теперь найдем сумму:

$S_9 = \frac{-512 - 1}{-3} = \frac{-513}{-3} = 171$

Ответ: $171$

в) Дано: $c_1 = -2$, $q = 2$.

Подставим значения в формулу:

$S_9 = \frac{-2(2^9 - 1)}{2 - 1}$

Вычислим $2^9$:

$2^9 = 512$

Теперь найдем сумму:

$S_9 = \frac{-2(512 - 1)}{1} = -2 \cdot 511 = -1022$

Ответ: $-1022$

г) Дано: $c_1 = 32$, $q = -0.5$.

Представим $q$ в виде обыкновенной дроби: $q = -\frac{1}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$S_9 = \frac{32((-\frac{1}{2})^9 - 1)}{-\frac{1}{2} - 1}$

Вычислим $(-\frac{1}{2})^9$:

$(-\frac{1}{2})^9 = -\frac{1^9}{2^9} = -\frac{1}{512}$

Теперь найдем сумму:

$S_9 = \frac{32(-\frac{1}{512} - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{32(-\frac{1}{512} - \frac{512}{512})}{-\frac{3}{2}} = \frac{32(-\frac{513}{512})}{-\frac{3}{2}}$

При делении на дробь, мы умножаем на обратную ей. Знак "минус" в числителе и знаменателе сокращается:

$S_9 = 32 \cdot \frac{513}{512} \cdot \frac{2}{3}$

Сократим дроби:

$S_9 = \frac{32 \cdot 2}{512} \cdot \frac{513}{3} = \frac{64}{512} \cdot 171 = \frac{1}{8} \cdot 171 = \frac{171}{8} = 21.375$

Ответ: $21.375$