Номер 615, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 615, страница 177.

Условие.

615. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти. В обоих случаях $n=5$.

а)

Дано: первый член прогрессии $b_1 = 8$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в формулу для суммы первых пяти членов ($n=5$):

$S_5 = \frac{8 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}}$

Сначала вычислим значение $q^5$:

$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{8 \cdot (1 - \frac{1}{32})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot (\frac{32}{32} - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}$

Упростим выражение в числителе дроби:

$8 \cdot \frac{31}{32} = \frac{8 \cdot 31}{32} = \frac{31}{4}$

Теперь выполним деление:

$S_5 = \frac{\frac{31}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{31}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{31 \cdot 2}{4} = \frac{31}{2} = 15,5$

Ответ: 15,5

б)

Дано: первый член прогрессии $b_1 = 500$ и знаменатель $q = \frac{1}{5}$.

Подставим эти значения в формулу для суммы первых пяти членов ($n=5$):

$S_5 = \frac{500 \cdot (1 - (\frac{1}{5})^5)}{1 - \frac{1}{5}}$

Сначала вычислим значение $q^5$:

$(\frac{1}{5})^5 = \frac{1^5}{5^5} = \frac{1}{3125}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{500 \cdot (1 - \frac{1}{3125})}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{500 \cdot (\frac{3125}{3125} - \frac{1}{3125})}{\frac{4}{5}} = \frac{500 \cdot \frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}}$

Выполним вычисления:

$S_5 = \frac{500 \cdot 3124}{3125} \cdot \frac{5}{4}$

Сократим дроби: $500$ и $4$ на $4$, $5$ и $3125$ на $5$.

$S_5 = \frac{125 \cdot 3124}{3125} \cdot \frac{5}{1} = \frac{125 \cdot 5 \cdot 3124}{3125} = \frac{625 \cdot 3124}{3125}$

Сократим $625$ и $3125$ на $625$ ($3125 = 5 \cdot 625$):

$S_5 = \frac{3124}{5} = 624,8$

Ответ: 624,8