Номер 609, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 609, страница 173.
№609 (с. 173)
Условие. №609 (с. 173)
скриншот условия

609. В равносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите периметр восьмого треугольника.
Решение 1. №609 (с. 173)

Решение 2. №609 (с. 173)

Решение 3. №609 (с. 173)

Решение 4. №609 (с. 173)

Решение 5. №609 (с. 173)

Решение 7. №609 (с. 173)

Решение 8. №609 (с. 173)
Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию.
Пусть $T_1, T_2, T_3, \dots, T_n, \dots$ — последовательность треугольников, а $P_1, P_2, P_3, \dots, P_n, \dots$ — последовательность их периметров.
Первый треугольник $T_1$ является равносторонним со стороной $a_1 = 16$ см. Его периметр $P_1 = 3a_1$.
Вершины второго треугольника $T_2$ являются серединами сторон треугольника $T_1$. Следовательно, стороны $T_2$ являются средними линиями треугольника $T_1$.
По свойству средней линии, она параллельна основанию и равна его половине. Так как $T_1$ — равносторонний, все его стороны равны $a_1$. Значит, все средние линии $T_1$ также равны между собой, и их длина составляет $a_2 = \frac{a_1}{2}$. Таким образом, треугольник $T_2$ тоже равносторонний.
Периметр треугольника $T_2$ равен $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot \frac{a_1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (3a_1) = \frac{1}{2} P_1$.
Аналогично, для любого треугольника $T_n$ со стороной $a_n$ и периметром $P_n$, вписанный в него треугольник $T_{n+1}$ будет равносторонним со стороной $a_{n+1} = \frac{a_n}{2}$ и периметром $P_{n+1} = \frac{1}{2} P_n$.
Рассмотрим отношение любого члена последовательности периметров $P_{n+1}$ к предыдущему члену $P_n$:
$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{\frac{1}{2}P_n}{P_n} = \frac{1}{2}$
Поскольку отношение любого члена последовательности к предыдущему является постоянной величиной, равной $1/2$, данная последовательность периметров является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/2$.
Ответ: Последовательность периметров треугольников образует геометрическую прогрессию, так как периметр каждого следующего треугольника равен половине периметра предыдущего, что означает, что знаменатель прогрессии $q = 1/2$ является постоянной величиной.
Найдите периметр восьмого треугольника.
Для нахождения периметра восьмого треугольника ($P_8$) воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $b_n = P_n$.
Найдем первый член прогрессии — периметр исходного треугольника $T_1$ со стороной $a_1 = 16$ см:
$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 16 = 48$ см.
Знаменатель прогрессии, как было доказано выше, $q = 1/2$.
Теперь найдем периметр восьмого треугольника ($n=8$):
$P_8 = P_1 \cdot q^{8-1} = P_1 \cdot q^7$
Подставим известные значения в формулу:
$P_8 = 48 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 48 \cdot \frac{1}{2^7} = 48 \cdot \frac{1}{128} = \frac{48}{128}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 16:
$\frac{48}{128} = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 8} = \frac{3}{8}$
Таким образом, периметр восьмого треугольника составляет $3/8$ см.
Ответ: $3/8$ см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 609 расположенного на странице 173 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №609 (с. 173), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.