Номер 609, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 609, страница 173.

№609 (с. 173)
Условие. №609 (с. 173)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 609, Условие

609. В равносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите периметр восьмого треугольника.

Решение 1. №609 (с. 173)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 609, Решение 1
Решение 2. №609 (с. 173)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 609, Решение 2
Решение 3. №609 (с. 173)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 609, Решение 3
Решение 4. №609 (с. 173)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 609, Решение 4
Решение 5. №609 (с. 173)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 609, Решение 5
Решение 7. №609 (с. 173)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 609,  Решение 7
Решение 8. №609 (с. 173)

Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию.

Пусть $T_1, T_2, T_3, \dots, T_n, \dots$ — последовательность треугольников, а $P_1, P_2, P_3, \dots, P_n, \dots$ — последовательность их периметров.

Первый треугольник $T_1$ является равносторонним со стороной $a_1 = 16$ см. Его периметр $P_1 = 3a_1$.

Вершины второго треугольника $T_2$ являются серединами сторон треугольника $T_1$. Следовательно, стороны $T_2$ являются средними линиями треугольника $T_1$.

По свойству средней линии, она параллельна основанию и равна его половине. Так как $T_1$ — равносторонний, все его стороны равны $a_1$. Значит, все средние линии $T_1$ также равны между собой, и их длина составляет $a_2 = \frac{a_1}{2}$. Таким образом, треугольник $T_2$ тоже равносторонний.

Периметр треугольника $T_2$ равен $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot \frac{a_1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (3a_1) = \frac{1}{2} P_1$.

Аналогично, для любого треугольника $T_n$ со стороной $a_n$ и периметром $P_n$, вписанный в него треугольник $T_{n+1}$ будет равносторонним со стороной $a_{n+1} = \frac{a_n}{2}$ и периметром $P_{n+1} = \frac{1}{2} P_n$.

Рассмотрим отношение любого члена последовательности периметров $P_{n+1}$ к предыдущему члену $P_n$:

$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{\frac{1}{2}P_n}{P_n} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношение любого члена последовательности к предыдущему является постоянной величиной, равной $1/2$, данная последовательность периметров является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/2$.

Ответ: Последовательность периметров треугольников образует геометрическую прогрессию, так как периметр каждого следующего треугольника равен половине периметра предыдущего, что означает, что знаменатель прогрессии $q = 1/2$ является постоянной величиной.

Найдите периметр восьмого треугольника.

Для нахождения периметра восьмого треугольника ($P_8$) воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $b_n = P_n$.

Найдем первый член прогрессии — периметр исходного треугольника $T_1$ со стороной $a_1 = 16$ см:

$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 16 = 48$ см.

Знаменатель прогрессии, как было доказано выше, $q = 1/2$.

Теперь найдем периметр восьмого треугольника ($n=8$):

$P_8 = P_1 \cdot q^{8-1} = P_1 \cdot q^7$

Подставим известные значения в формулу:

$P_8 = 48 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 48 \cdot \frac{1}{2^7} = 48 \cdot \frac{1}{128} = \frac{48}{128}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 16:

$\frac{48}{128} = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 8} = \frac{3}{8}$

Таким образом, периметр восьмого треугольника составляет $3/8$ см.

Ответ: $3/8$ см.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 609 расположенного на странице 173 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №609 (с. 173), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.