Номер 609, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. 29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии - номер 609, страница 173.

Условие.

609. В равносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите периметр восьмого треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию.

Пусть $T_1, T_2, T_3, \dots, T_n, \dots$ — последовательность треугольников, а $P_1, P_2, P_3, \dots, P_n, \dots$ — последовательность их периметров.

Первый треугольник $T_1$ является равносторонним со стороной $a_1 = 16$ см. Его периметр $P_1 = 3a_1$.

Вершины второго треугольника $T_2$ являются серединами сторон треугольника $T_1$. Следовательно, стороны $T_2$ являются средними линиями треугольника $T_1$.

По свойству средней линии, она параллельна основанию и равна его половине. Так как $T_1$ — равносторонний, все его стороны равны $a_1$. Значит, все средние линии $T_1$ также равны между собой, и их длина составляет $a_2 = \frac{a_1}{2}$. Таким образом, треугольник $T_2$ тоже равносторонний.

Периметр треугольника $T_2$ равен $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot \frac{a_1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (3a_1) = \frac{1}{2} P_1$.

Аналогично, для любого треугольника $T_n$ со стороной $a_n$ и периметром $P_n$, вписанный в него треугольник $T_{n+1}$ будет равносторонним со стороной $a_{n+1} = \frac{a_n}{2}$ и периметром $P_{n+1} = \frac{1}{2} P_n$.

Рассмотрим отношение любого члена последовательности периметров $P_{n+1}$ к предыдущему члену $P_n$:

$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{\frac{1}{2}P_n}{P_n} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношение любого члена последовательности к предыдущему является постоянной величиной, равной $1/2$, данная последовательность периметров является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/2$.

Ответ: Последовательность периметров треугольников образует геометрическую прогрессию, так как периметр каждого следующего треугольника равен половине периметра предыдущего, что означает, что знаменатель прогрессии $q = 1/2$ является постоянной величиной.

Найдите периметр восьмого треугольника.

Для нахождения периметра восьмого треугольника ($P_8$) воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $b_n = P_n$.

Найдем первый член прогрессии — периметр исходного треугольника $T_1$ со стороной $a_1 = 16$ см:

$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 16 = 48$ см.

Знаменатель прогрессии, как было доказано выше, $q = 1/2$.

Теперь найдем периметр восьмого треугольника ($n=8$):

$P_8 = P_1 \cdot q^{8-1} = P_1 \cdot q^7$

Подставим известные значения в формулу:

$P_8 = 48 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 48 \cdot \frac{1}{2^7} = 48 \cdot \frac{1}{128} = \frac{48}{128}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 16:

$\frac{48}{128} = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 8} = \frac{3}{8}$

Таким образом, периметр восьмого треугольника составляет $3/8$ см.

Ответ: $3/8$ см.