Номер 608, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 608, страница 173.

Условие.

608. Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию

Пусть $a_n$ — сторона n-го равностороннего треугольника, а $P_n$ — его периметр. По условию, сторона первого треугольника $a_1 = 8$ см. Его периметр $P_1 = 3a_1$.

Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По условию задачи, сторона следующего, (n+1)-го, треугольника $a_{n+1}$ равна высоте предыдущего, n-го, треугольника $h_n$. Так как в равностороннем треугольнике все высоты равны, то все построенные треугольники будут равносторонними.
Следовательно, $a_{n+1} = h_n = a_n \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем отношение периметра (n+1)-го треугольника к периметру n-го:
$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{3a_{n+1}}{3a_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a_n \frac{\sqrt{3}}{2}}{a_n} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку отношение периметра каждого последующего треугольника к предыдущему является постоянной величиной, равной $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$, последовательность периметров по определению является геометрической прогрессией, что и требовалось доказать.

Найдите периметр шестого треугольника

Для нахождения периметра шестого треугольника $P_6$ воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $P_n = P_1 \cdot q^{n-1}$.

1. Первый член прогрессии $P_1$ — это периметр исходного треугольника:
$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 8 = 24$ см.

2. Знаменатель прогрессии $q$, как было доказано выше, равен $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Найдем шестой член прогрессии $P_6$, подставив $n=6$ в формулу:
$P_6 = P_1 \cdot q^{6-1} = P_1 \cdot q^5 = 24 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5$.

4. Выполним вычисления:
$P_6 = 24 \cdot \frac{(\sqrt{3})^5}{2^5} = 24 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{32} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 9\sqrt{3}}{4 \cdot 8} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$ см.

Ответ: периметр шестого треугольника равен $\frac{27\sqrt{3}}{4}$ см.