Номер 611, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 611, страница 173.

Условие.

611. Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4, мы получим геометрическую прогрессию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть три положительных числа, образующих арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3$. Для удобства решения представим эти числа через средний член $a$ и разность прогрессии $d$: $a_1 = a - d$ $a_2 = a$ $a_3 = a + d$

Согласно первому условию задачи, сумма этих чисел равна 15. Составим и решим уравнение: $(a - d) + a + (a + d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Теперь мы знаем средний член прогрессии, и наши числа можно записать как: $5 - d$, $5$, $5 + d$. По условию, все три числа положительные, что накладывает ограничение на $d$: $5 - d > 0 \implies d < 5$ $5 + d > 0 \implies d > -5$ Следовательно, $-5 < d < 5$.

Далее, согласно второму условию, мы увеличиваем первое и второе числа на 1, а третье на 4. Получаем новые числа: $b_1 = (5 - d) + 1 = 6 - d$ $b_2 = 5 + 1 = 6$ $b_3 = (5 + d) + 4 = 9 + d$

Эти новые числа $b_1, b_2, b_3$ образуют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим наши выражения: $6^2 = (6 - d)(9 + d)$

Решим это уравнение относительно $d$: $36 = 54 + 6d - 9d - d^2$ $36 = 54 - 3d - d^2$ $d^2 + 3d + 36 - 54 = 0$ $d^2 + 3d - 18 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-18$. Легко подобрать корни: $d_1 = 3$ $d_2 = -6$

Теперь необходимо проверить, какой из корней удовлетворяет ранее найденному условию $-5 < d < 5$. Корень $d_1 = 3$ подходит, так как $-5 < 3 < 5$. Корень $d_2 = -6$ не подходит, так как он не входит в данный интервал. Если бы $d = -6$, то третье исходное число было бы $5 + (-6) = -1$, что противоречит условию о том, что все числа положительные.

Таким образом, разность арифметической прогрессии однозначно равна $d=3$. Найдем искомые числа: Первое число: $a_1 = 5 - 3 = 2$ Второе число: $a_2 = 5$ Третье число: $a_3 = 5 + 3 = 8$

Проверка: Числа 2, 5, 8 действительно образуют арифметическую прогрессию, их сумма равна $2+5+8=15$. После преобразований получаем числа $2+1=3$, $5+1=6$, $8+4=12$, которые образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2.

Ответ: 2, 5, 8.