Номер 622, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

622. Первый член геометрической прогрессии равен 2, а пятый равен 162. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии, если известно, что её члены с чётными номерами отрицательны, а с нечётной — положительны.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Согласно условию задачи, нам даны следующие данные:
Первый член прогрессии $b_1 = 2$.
Пятый член прогрессии $b_5 = 162$.
Члены с нечётными номерами ($b_1, b_3, \dots$) — положительны, а с чётными ($b_2, b_4, \dots$) — отрицательны.

Для решения задачи необходимо сначала найти знаменатель прогрессии $q$, а затем вычислить сумму её первых шести членов $S_6$.

1. Нахождение знаменателя прогрессии $q$
Используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для пятого члена ($n=5$) имеем: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.
Подставим известные значения $b_1=2$ и $b_5=162$ в формулу:
$162 = 2 \cdot q^4$
Разделим обе части уравнения на 2:
$q^4 = \frac{162}{2}$
$q^4 = 81$
Это уравнение имеет два действительных решения: $q = 3$ и $q = -3$.
Чтобы выбрать правильное значение, обратимся к условию о знаках членов прогрессии. Поскольку первый член $b_1 = 2$ положителен, а второй член $b_2$ должен быть отрицательным, их отношение, то есть знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1}$, должен быть отрицательным числом.
Следовательно, мы выбираем значение $q = -3$.

2. Вычисление суммы первых шести членов $S_6$
Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Нам нужно найти сумму первых шести членов, поэтому $n=6$. Подставим в формулу известные значения $b_1=2$ и $q=-3$:
$S_6 = \frac{2 \cdot ((-3)^6 - 1)}{-3 - 1}$
Вычислим степень в числителе:
$(-3)^6 = 729$
Теперь подставим это значение в выражение для суммы:
$S_6 = \frac{2 \cdot (729 - 1)}{-4}$
$S_6 = \frac{2 \cdot 728}{-4}$
$S_6 = \frac{1456}{-4}$
$S_6 = -364$

Ответ: -364