Номер 621, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 621, страница 177.

Условие.

621. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (xₙ), если:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)
Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии $S_5$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель, $n$ — количество членов.
Сначала найдем первый член прогрессии $x_1$, используя формулу n-го члена $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Нам даны $x_5 = 1\frac{1}{9}$ и $q = \frac{1}{3}$.
Переведем смешанную дробь в неправильную: $x_5 = 1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$.
Подставим известные значения в формулу для пятого члена ($n=5$):
$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = x_1 \cdot q^4$
$\frac{10}{9} = x_1 \cdot (\frac{1}{3})^4$
$\frac{10}{9} = x_1 \cdot \frac{1}{81}$
Отсюда находим $x_1$:
$x_1 = \frac{10}{9} \cdot 81 = 10 \cdot 9 = 90$.
Теперь, зная $x_1 = 90$ и $q = \frac{1}{3}$, вычислим сумму первых пяти членов $S_5$:
$S_5 = \frac{x_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{90((\frac{1}{3})^5 - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$
Вычислим знаменатель дроби: $\frac{1}{3} - 1 = \frac{1-3}{3} = -\frac{2}{3}$.
Вычислим числитель дроби: $90((\frac{1}{3})^5 - 1) = 90(\frac{1}{243} - 1) = 90(\frac{1 - 243}{243}) = 90(-\frac{242}{243})$.
Теперь найдем значение $S_5$:
$S_5 = \frac{90(-\frac{242}{243})}{-\frac{2}{3}} = \frac{90 \cdot 242 \cdot 3}{243 \cdot 2} = \frac{45 \cdot 242 \cdot 3}{243} = \frac{45 \cdot 242}{81} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 242}{9 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 242}{9} = \frac{1210}{9}$.
Переведем неправильную дробь в смешанную:
$\frac{1210}{9} = 134\frac{4}{9}$.
Ответ: $134\frac{4}{9}$.

б)
Даны $x_4 = 121,5$ и $q = -3$. Требуется найти $S_5$.
Как и в предыдущем пункте, сначала найдем первый член прогрессии $x_1$, используя формулу $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим известные значения ($n=4$):
$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = x_1 \cdot q^3$
$121,5 = x_1 \cdot (-3)^3$
$121,5 = x_1 \cdot (-27)$
Отсюда находим $x_1$:
$x_1 = \frac{121,5}{-27} = -4,5$.
Теперь, зная $x_1 = -4,5$ и $q = -3$, вычислим сумму первых пяти членов $S_5$ по формуле $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_5 = \frac{-4,5((-3)^5 - 1)}{-3 - 1}$
Вычислим знаменатель: $-3 - 1 = -4$.
Вычислим значение в скобках в числителе: $(-3)^5 - 1 = -243 - 1 = -244$.
Теперь найдем значение $S_5$:
$S_5 = \frac{-4,5 \cdot (-244)}{-4} = \frac{1107}{-4} = -276,75$.
Проверим вычисления:
$S_5 = \frac{-4,5(-244)}{-4} = -4,5 \cdot \frac{-244}{-4} = -4,5 \cdot 61$.
$-4,5 \cdot 61 = -(4 \cdot 61 + 0,5 \cdot 61) = -(244 + 30,5) = -274,5$.
Ответ: $-274,5$.