Номер 538, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Последовательности. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 538, страница 152.

Условие.

538. Решите неравенство:

а) x² + x – 42 ≤ 0;

б) (x + 11)(x + 4)(x – 1) › 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^2 + x - 42 \le 0$
Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 42 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Графиком функции $y = x^2 + x - 42$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит между корнями уравнения, включая сами корни.
Таким образом, решением неравенства является отрезок от -7 до 6.
Ответ: $[-7; 6]$.

б) $(x + 11)(x + 4)(x - 1) > 0$
Для решения этого неравенства используем метод интервалов.
Сначала найдем нули выражения, стоящего в левой части, приравняв его к нулю:
$(x + 11)(x + 4)(x - 1) = 0$
Корнями являются $x_1 = -11$, $x_2 = -4$, $x_3 = 1$.
Нанесем эти точки на числовую прямую. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение.
Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -11)$, $(-11; -4)$, $(-4; 1)$ и $(1; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 2$:
$(2 + 11)(2 + 4)(2 - 1) = 13 \cdot 6 \cdot 1 = 78$, что больше нуля. Значит, на интервале $(1; +\infty)$ выражение положительно.
Так как все корни имеют нечетную степень (в данном случае 1), то при переходе через каждый корень знак будет меняться на противоположный. Расставим знаки на интервалах справа налево: +, -, +, -.
Нам нужно найти промежутки, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак «+».
Это интервалы $(-11; -4)$ и $(1; +\infty)$.
Ответ: $(-11; -4) \cup (1; +\infty)$.