Номер 537, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Последовательности. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 537, страница 152.

Условие.

537. Решите уравнение:

а) 4x⁴ + 4x² – 15 = 0;

б) 2x⁴ – x² – 36 = 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $4x^4 + 4x^2 - 15 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $y \ge 0$.

Заменим $x^2$ на $y$ и $x^4$ на $y^2$ в исходном уравнении:

$4y^2 + 4y - 15 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = -2.5$ не удовлетворяет условию, так как $-2.5 < 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $y_2 = 1.5$ удовлетворяет условию, так как $1.5 > 0$.

Выполним обратную замену для найденного корня:

$x^2 = y_2$

$x^2 = \frac{3}{2}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$x = \pm\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $x_1 = -\frac{\sqrt{6}}{2}, x_2 = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

б) $2x^4 - x^2 - 36 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$2t^2 - t - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 1 + 288 = 289$

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = 4.5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для $t_2$:

$x^2 = t_2$

$x^2 = \frac{9}{2}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{2}} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$x = \pm\frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $x_1 = -\frac{3\sqrt{2}}{2}, x_2 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.