Номер 532, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. 26. Последовательности - номер 532, страница 152.

Условие.

532. Последовательность (aₙ) задана формулой aₙ = n² – n – 20. Укажите номера отрицательных членов последовательности и вычислите эти члены.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти номера отрицательных членов последовательности $(a_n)$, заданной формулой $a_n = n^2 - n - 20$, необходимо решить неравенство $a_n < 0$ относительно $n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Составим и решим неравенство:

$n^2 - n - 20 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - n - 20 = 0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = -4$

$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5$

Графиком функции $y = n^2 - n - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен. Значения функции будут отрицательными в интервале между корнями. Таким образом, решением неравенства является интервал $-4 < n < 5$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом. Найдем все натуральные числа, которые принадлежат интервалу $(-4, 5)$.

Это числа: $1, 2, 3, 4$.

Итак, номера отрицательных членов последовательности — это $1, 2, 3$ и $4$.

Теперь вычислим значения этих членов, подставляя найденные номера в формулу $a_n = n^2 - n - 20$:

При $n = 1$: $a_1 = 1^2 - 1 - 20 = 1 - 1 - 20 = -20$.

При $n = 2$: $a_2 = 2^2 - 2 - 20 = 4 - 2 - 20 = -18$.

При $n = 3$: $a_3 = 3^2 - 3 - 20 = 9 - 3 - 20 = -14$.

При $n = 4$: $a_4 = 4^2 - 4 - 20 = 16 - 4 - 20 = -8$.

Ответ: Номера отрицательных членов последовательности: $1, 2, 3, 4$. Значения этих членов: $a_1 = -20, a_2 = -18, a_3 = -14, a_4 = -8$.