Номер 491, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 491, страница 145.

Условие.

491. При каких значениях m система уравнений имеет: а) одно решение; б) два решения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x - y = m \end{cases} $$

Первое уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{5}$. Второе уравнение, $x - y = m$, которое можно переписать как $y = x - m$, является уравнением прямой. Количество решений системы равно количеству точек пересечения этой прямой и окружности.

Для нахождения количества решений решим систему методом подстановки. Выразим переменную $x$ из второго уравнения: $$ x = y + m $$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы: $$ (y + m)^2 + y^2 = 5 $$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$: $$ y^2 + 2my + m^2 + y^2 = 5 $$ $$ 2y^2 + 2my + (m^2 - 5) = 0 $$

Количество решений этого квадратного уравнения, а значит и всей системы, зависит от знака его дискриминанта $D$.

Вычислим дискриминант для квадратного уравнения $ay^2+by+c=0$, где коэффициенты $a=2$, $b=2m$, $c=m^2-5$: $$ D = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m^2 - 5) $$ $$ D = 4m^2 - 8(m^2 - 5) = 4m^2 - 8m^2 + 40 = 40 - 4m^2 $$

а) одно решение

Система имеет единственное решение, если соответствующее квадратное уравнение имеет один корень. Это происходит при условии, что дискриминант равен нулю ($D = 0$).

$$ 40 - 4m^2 = 0 $$ $$ 4m^2 = 40 $$ $$ m^2 = 10 $$ $$ m = \pm\sqrt{10} $$

Геометрически это означает, что прямая является касательной к окружности.

Ответ: $m = \pm\sqrt{10}$.

б) два решения

Система имеет два различных решения, если квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это происходит при условии, что дискриминант больше нуля ($D > 0$).

$$ 40 - 4m^2 > 0 $$ $$ 40 > 4m^2 $$ $$ 10 > m^2 $$ $$ m^2 < 10 $$

Решением этого неравенства является интервал: $$ -\sqrt{10} < m < \sqrt{10} $$

Геометрически это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: $m \in (-\sqrt{10}; \sqrt{10})$.