Номер 484, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

484. Постройте график уравнения:

а) Для построения графика уравнения $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0$ преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 5 = 0$.
Дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого используем формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Для группы с $x$: $x^2 - 2x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x - 1)^2 - 1$.
Для группы с $y$: $y^2 - 4y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (y - 2)^2 - 4$.
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$((x - 1)^2 - 1) + ((y - 2)^2 - 4) + 5 = 0$.
Упростим выражение:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 + 5 = 0$
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 0$.
Это уравнение соответствует стандартному уравнению окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $(1, 2)$, а радиус $R = \sqrt{0} = 0$. Окружность с нулевым радиусом представляет собой одну точку — её центр. Следовательно, графиком данного уравнения является точка с координатами $(1, 2)$.
Ответ: Графиком уравнения является точка $(1, 2)$.

б) Рассмотрим уравнение $y^2 - x^4 = 0$.
Это уравнение можно преобразовать, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$.
$y^2 - (x^2)^2 = 0$
$(y - x^2)(y + x^2) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
1) $y - x^2 = 0$, откуда $y = x^2$.
2) $y + x^2 = 0$, откуда $y = -x^2$.
Графиком уравнения $y = x^2$ является парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.
Графиком уравнения $y = -x^2$ является парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз.
Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух парабол, которые симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси Ox) и пересекаются в точке $(0, 0)$.
Ответ: Графиком уравнения является объединение двух парабол: $y = x^2$ и $y = -x^2$.