Номер 480, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. 25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными - номер 480, страница 143.

Условие.

480. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}4x(x + y) + y^2 = 49, \\4x(x - y) + y^2 = 81.\end{cases}$
Раскроем скобки в каждом уравнении:$\begin{cases}4x^2 + 4xy + y^2 = 49, \\4x^2 - 4xy + y^2 = 81.\end{cases}$
Левые части уравнений являются полными квадратами. Первое уравнение — квадрат суммы, второе — квадрат разности:$\begin{cases}(2x + y)^2 = 49, \\(2x - y)^2 = 81.\end{cases}$
Извлекая квадратный корень из обеих частей каждого уравнения, мы получаем систему, которая распадается на четыре системы линейных уравнений:$\begin{cases}2x + y = \pm 7, \\2x - y = \pm 9.\end{cases}$
Рассмотрим все четыре возможных случая:

1)$\begin{cases}2x + y = 7, \\2x - y = 9.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = 7 + 9 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4$.
Подставим $x=4$ в первое уравнение: $2(4) + y = 7 \Rightarrow 8 + y = 7 \Rightarrow y = -1$.
Получаем решение: $(4, -1)$.

2)$\begin{cases}2x + y = 7, \\2x - y = -9.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = 7 - 9 \Rightarrow 4x = -2 \Rightarrow x = -1/2$.
Подставим $x=-1/2$ в первое уравнение: $2(-1/2) + y = 7 \Rightarrow -1 + y = 7 \Rightarrow y = 8$.
Получаем решение: $(-1/2, 8)$.

3)$\begin{cases}2x + y = -7, \\2x - y = 9.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = -7 + 9 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = 1/2$.
Подставим $x=1/2$ в первое уравнение: $2(1/2) + y = -7 \Rightarrow 1 + y = -7 \Rightarrow y = -8$.
Получаем решение: $(1/2, -8)$.

4)$\begin{cases}2x + y = -7, \\2x - y = -9.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(2x + y) + (2x - y) = -7 - 9 \Rightarrow 4x = -16 \Rightarrow x = -4$.
Подставим $x=-4$ в первое уравнение: $2(-4) + y = -7 \Rightarrow -8 + y = -7 \Rightarrow y = 1$.
Получаем решение: $(-4, 1)$.

Ответ: $(4, -1)$; $(-1/2, 8)$; $(1/2, -8)$; $(-4, 1)$.

б)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}3x(3x - 4y) + 4y^2 = 64, \\3x(3x + 4y) + 4y^2 = 16.\end{cases}$
Раскроем скобки в каждом уравнении:$\begin{cases}9x^2 - 12xy + 4y^2 = 64, \\9x^2 + 12xy + 4y^2 = 16.\end{cases}$
Левые части уравнений являются полными квадратами. Заметим, что $4y^2 = (2y)^2$. Первое уравнение — квадрат разности, второе — квадрат суммы:$\begin{cases}(3x - 2y)^2 = 64, \\(3x + 2y)^2 = 16.\end{cases}$
Извлекая квадратный корень из обеих частей каждого уравнения, мы получаем систему, которая распадается на четыре системы линейных уравнений:$\begin{cases}3x - 2y = \pm 8, \\3x + 2y = \pm 4.\end{cases}$
Рассмотрим все четыре возможных случая:

1)$\begin{cases}3x - 2y = 8, \\3x + 2y = 4.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(3x - 2y) + (3x + 2y) = 8 + 4 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$.
Подставим $x=2$ во второе уравнение: $3(2) + 2y = 4 \Rightarrow 6 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1$.
Получаем решение: $(2, -1)$.

2)$\begin{cases}3x - 2y = 8, \\3x + 2y = -4.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(3x - 2y) + (3x + 2y) = 8 - 4 \Rightarrow 6x = 4 \Rightarrow x = 2/3$.
Подставим $x=2/3$ во второе уравнение: $3(2/3) + 2y = -4 \Rightarrow 2 + 2y = -4 \Rightarrow 2y = -6 \Rightarrow y = -3$.
Получаем решение: $(2/3, -3)$.

3)$\begin{cases}3x - 2y = -8, \\3x + 2y = 4.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(3x - 2y) + (3x + 2y) = -8 + 4 \Rightarrow 6x = -4 \Rightarrow x = -2/3$.
Подставим $x=-2/3$ во второе уравнение: $3(-2/3) + 2y = 4 \Rightarrow -2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.
Получаем решение: $(-2/3, 3)$.

4)$\begin{cases}3x - 2y = -8, \\3x + 2y = -4.\end{cases}$
Сложим два уравнения: $(3x - 2y) + (3x + 2y) = -8 - 4 \Rightarrow 6x = -12 \Rightarrow x = -2$.
Подставим $x=-2$ во второе уравнение: $3(-2) + 2y = -4 \Rightarrow -6 + 2y = -4 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.
Получаем решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(2, -1)$; $(2/3, -3)$; $(-2/3, 3)$; $(-2, 1)$.