Номер 474, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

474. Найдите все решения системы уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 3xy + 14 = 0 \\ 3x^2 + 2xy - 24 = 0 \end{cases} $

Для решения этой системы используем метод сложения, чтобы исключить свободные члены. Умножим первое уравнение на 24, а второе на 14. Чтобы избежать больших чисел, можно заметить, что $24 = 2 \cdot 12$ и $14 = 2 \cdot 7$, но наименьшее общее кратное для 14 и 24 это 168. Умножим первое уравнение на $12$, а второе на $7$.

$168/14 = 12$, $168/24 = 7$. Умножим первое уравнение на 12, а второе на 7.

$ \begin{cases} 12(x^2 - 3xy + 14) = 0 \\ 7(3x^2 + 2xy - 24) = 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} 12x^2 - 36xy + 168 = 0 \\ 21x^2 + 14xy - 168 = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(12x^2 - 36xy + 168) + (21x^2 + 14xy - 168) = 0$

$33x^2 - 22xy = 0$

Вынесем общий множитель $11x$ за скобки:

$11x(3x - 2y) = 0$

Это уравнение дает два возможных случая:

1. $x = 0$

2. $3x - 2y = 0 \implies y = \frac{3}{2}x$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое исходное уравнение:

$0^2 - 3(0)y + 14 = 0 \implies 14 = 0$.

Это неверное равенство, следовательно, $x = 0$ не является решением системы.

Случай 2: $y = \frac{3}{2}x$.

Подставим это выражение для $y$ в первое исходное уравнение:

$x^2 - 3x(\frac{3}{2}x) + 14 = 0$

$x^2 - \frac{9}{2}x^2 + 14 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2x^2 - 9x^2 + 28 = 0$

$-7x^2 = -28$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = \frac{3}{2}x$.

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{3}{2}(2) = 3$. Получаем решение $(2, 3)$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{3}{2}(-2) = -3$. Получаем решение $(-2, -3)$.

Проверим найденные решения, подставив их во второе исходное уравнение $3x^2 + 2xy - 24 = 0$.

Для $(2, 3)$: $3(2)^2 + 2(2)(3) - 24 = 3(4) + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$. Верно.

Для $(-2, -3)$: $3(-2)^2 + 2(-2)(-3) - 24 = 3(4) + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$. Верно.

Ответ: $(2, 3)$, $(-2, -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 - 6y = xy \\ 3x^2 - 8y = 0,5xy \end{cases} $

Перепишем систему, перенеся все члены в левую часть:

$ \begin{cases} 2x^2 - xy - 6y = 0 \\ 3x^2 - 0,5xy - 8y = 0 \end{cases} $

Рассмотрим случай, когда $x = 0$. Подставив $x=0$ в систему, получим:

$ \begin{cases} -6y = 0 \\ -8y = 0 \end{cases} $

Из обоих уравнений следует, что $y = 0$. Таким образом, $(0, 0)$ является одним из решений системы.

Теперь рассмотрим случай, когда $x \neq 0$. Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента и сделать коэффициенты при $xy$ одинаковыми:

$2(3x^2 - 0,5xy - 8y) = 0 \implies 6x^2 - xy - 16y = 0$.

Теперь у нас есть система:

$ \begin{cases} 2x^2 - xy - 6y = 0 \\ 6x^2 - xy - 16y = 0 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:

$(6x^2 - xy - 16y) - (2x^2 - xy - 6y) = 0$

$4x^2 - 10y = 0$

$10y = 4x^2$

$y = \frac{4}{10}x^2 = \frac{2}{5}x^2$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое исходное уравнение $2x^2 - 6y = xy$:

$2x^2 - 6(\frac{2}{5}x^2) = x(\frac{2}{5}x^2)$

$2x^2 - \frac{12}{5}x^2 = \frac{2}{5}x^3$

Умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:

$10x^2 - 12x^2 = 2x^3$

$-2x^2 = 2x^3$

$2x^3 + 2x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки:

$2x^2(x + 1) = 0$

Это уравнение дает два возможных решения для $x$: $x=0$ или $x+1=0$.

Случай $x=0$ мы уже рассмотрели, он дает решение $(0, 0)$.

Если $x+1=0$, то $x = -1$.

Найдем соответствующее значение $y$ при $x=-1$, используя формулу $y = \frac{2}{5}x^2$:

$y = \frac{2}{5}(-1)^2 = \frac{2}{5}$.

Таким образом, мы получили еще одно решение: $(-1, \frac{2}{5})$.

Проверим это решение, подставив его во второе исходное уравнение $3x^2 - 8y = 0,5xy$.

Левая часть: $3(-1)^2 - 8(\frac{2}{5}) = 3 - \frac{16}{5} = \frac{15 - 16}{5} = -\frac{1}{5}$.

Правая часть: $0,5(-1)(\frac{2}{5}) = \frac{1}{2}(-1)(\frac{2}{5}) = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Левая и правая части равны, значит, решение верное.

Ответ: $(0, 0)$, $(-1, \frac{2}{5})$.