Номер 3, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Контрольные вопросы и задания - номер 3, страница 139.

Условие.

3. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: а) x + y ≥ 4; б) xy ≥ 4.

Решение 1.

Решение 8.

а) $x + y \ge 4$

Для того чтобы изобразить множество решений неравенства на координатной плоскости, сначала рассмотрим граничное уравнение $x + y = 4$.

Это уравнение является линейным, и его можно представить в виде $y = 4 - x$. Графиком этой функции является прямая линия.

Для построения прямой найдем две точки, принадлежащие ей:
1. Если $x = 0$, то $y = 4 - 0 = 4$. Получаем точку $(0, 4)$.
2. Если $y = 0$, то $0 = 4 - x$, откуда $x = 4$. Получаем точку $(4, 0)$.

Проведем через эти две точки прямую. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сама прямая является частью множества решений и изображается сплошной линией.

Эта прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем пробную точку, не лежащую на прямой. Удобно взять начало координат — точку $(0, 0)$.

Подставим координаты этой точки в исходное неравенство:
$0 + 0 \ge 4$
$0 \ge 4$

Полученное неравенство является ложным. Это означает, что полуплоскость, содержащая начало координат, не является решением. Следовательно, решением является другая полуплоскость, то есть область, расположенная выше и правее прямой $y = 4 - x$.

Ответ: Множеством решений является полуплоскость, расположенная над прямой $y = 4 - x$, включая саму прямую.

б) $xy \ge 4$

Рассмотрим граничное уравнение $xy = 4$.

Это уравнение можно записать в виде $y = \frac{4}{x}$. Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки самой гиперболы входят в множество решений, поэтому ее ветви изображаются сплошными линиями.

Гипербола делит плоскость на три области. Чтобы определить, какие из них удовлетворяют неравенству, рассмотрим два случая.

1. Случай $x > 0$ (I координатная четверть):
В этом случае неравенство $xy \ge 4$ можно разделить на $x$ без изменения знака: $y \ge \frac{4}{x}$. Это означает, что для любого положительного $x$ подходят все точки, лежащие на и выше ветви гиперболы. Проверим, взяв точку $(2, 3)$, которая лежит выше гиперболы: $2 \cdot 3 = 6 \ge 4$. Неравенство верное.

2. Случай $x < 0$ (III координатная четверть):
При делении неравенства $xy \ge 4$ на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y \le \frac{4}{x}$. Это означает, что для любого отрицательного $x$ подходят все точки, лежащие на и ниже ветви гиперболы. Проверим, взяв точку $(-2, -3)$, которая лежит ниже гиперболы: $(-2) \cdot (-3) = 6 \ge 4$. Неравенство верное.

3. Случай $x=0$:
Если $x=0$, то неравенство $0 \cdot y \ge 4$ превращается в $0 \ge 4$, что является ложным. Значит, точки на оси $Oy$ не являются решениями.

Таким образом, множество решений состоит из двух областей: области над ветвью гиперболы в первой четверти и области под ветвью гиперболы в третьей четверти. Сама гипербола также включена в решение.

Ответ: Множество решений — это точки, лежащие на гиперболе $y = \frac{4}{x}$, а также точки в первой координатной четверти, расположенные над ветвью гиперболы, и точки в третьей координатной четверти, расположенные под ветвью гиперболы.