Номер 4, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Контрольные вопросы и задания - номер 4, страница 139.

Условие.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений данной системы неравенств, необходимо последовательно проанализировать каждое неравенство и затем найти пересечение их областей решений.

$$\begin{cases}x^2 + y^2 \le 36, \\x + y \le 6.\end{cases}$$

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 36$, задает множество точек, расстояние от которых до начала координат не превышает 6. Границей этой области является окружность, определяемая уравнением $x^2 + y^2 = 36$. Это окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{36} = 6$. Поскольку неравенство нестрогое (содержит знак '$\le$'), решением является замкнутый круг, то есть все точки внутри окружности и на ее границе.

Второе неравенство, $x + y \le 6$, является линейным. Оно задает полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая, заданная уравнением $x + y = 6$. Для построения этой прямой найдем ее точки пересечения с осями координат: при $x=0$ получаем $y=6$ (точка $(0, 6)$), а при $y=0$ получаем $x=6$ (точка $(6, 0)$). Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является решением, подставим в неравенство координаты пробной точки, например, начала координат $(0, 0)$: $0 + 0 \le 6$. Это верное утверждение ($0 \le 6$), следовательно, решением является полуплоскость, содержащая начало координат, то есть область, расположенная ниже прямой $x + y = 6$, включая саму прямую.

Множество решений системы неравенств — это пересечение найденных областей. Таким образом, мы ищем все точки, которые одновременно принадлежат кругу с центром в $(0, 0)$ и радиусом 6, и лежат в полуплоскости на и ниже прямой $x + y = 6$.

Прямая $x+y=6$ проходит через точки $(6, 0)$ и $(0, 6)$, которые также лежат на окружности $x^2+y^2=36$. Эта прямая является хордой круга. Искомое множество решений представляет собой сегмент круга, который отсекается этой хордой и содержит начало координат.

Ответ: Искомое множество решений представляет собой сегмент круга с центром в начале координат и радиусом 6, который отсекается прямой $x+y=6$. Эта область включает все точки круга, которые лежат на и ниже этой прямой. Границами фигуры являются отрезок прямой, соединяющий точки $(6, 0)$ и $(0, 6)$, и большая дуга окружности, проходящая через эти же точки.