Номер 473, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

473. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + xy - 2y^2 - x + y = 0 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение системы. Заметим, что левую часть можно разложить на множители. Сгруппируем члены:

$ (x^2 + xy - 2y^2) - (x - y) = 0 $

Разложим на множители квадратичный трехчлен $x^2 + xy - 2y^2$, рассматривая его как квадратное уравнение относительно $x$. Корни этого уравнения $x=y$ и $x=-2y$. Следовательно, разложение имеет вид:

$x^2 + xy - 2y^2 = (x - y)(x + 2y)$

Подставим это в первое уравнение:

$ (x - y)(x + 2y) - (x - y) = 0 $

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$ (x - y)(x + 2y - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:

1. $x - y = 0 \implies x = y$

2. $x + 2y - 1 = 0 \implies x = 1 - 2y$

Рассмотрим каждый случай, подставляя выражение для $x$ во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 8$.

Случай 1: $x = y$

Подставляем $x = y$ в уравнение $x^2 + y^2 = 8$:

$ y^2 + y^2 = 8 $

$ 2y^2 = 8 $

$ y^2 = 4 \implies y = \pm 2 $

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2$. Получаем решение $(2, 2)$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2$. Получаем решение $(-2, -2)$.

Случай 2: $x = 1 - 2y$

Подставляем $x = 1 - 2y$ в уравнение $x^2 + y^2 = 8$:

$ (1 - 2y)^2 + y^2 = 8 $

$ 1 - 4y + 4y^2 + y^2 = 8 $

$ 5y^2 - 4y - 7 = 0 $

Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 16 + 140 = 156 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{156} = \sqrt{4 \cdot 39} = 2\sqrt{39} $

Находим корни для $y$:

$ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2\sqrt{39}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{39}}{5} $

Отсюда $y_3 = \frac{2 + \sqrt{39}}{5}$ и $y_4 = \frac{2 - \sqrt{39}}{5}$.

Находим соответствующие значения $x$:

Для $y_3 = \frac{2 + \sqrt{39}}{5}$, $x_3 = 1 - 2y_3 = 1 - 2\left(\frac{2 + \sqrt{39}}{5}\right) = \frac{5 - 4 - 2\sqrt{39}}{5} = \frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}$.

Для $y_4 = \frac{2 - \sqrt{39}}{5}$, $x_4 = 1 - 2y_4 = 1 - 2\left(\frac{2 - \sqrt{39}}{5}\right) = \frac{5 - 4 + 2\sqrt{39}}{5} = \frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}$.

Таким образом, получаем еще две пары решений: $(\frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 + \sqrt{39}}{5})$ и $(\frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 - \sqrt{39}}{5})$.

Ответ: $(2, 2)$; $(-2, -2)$; $(\frac{1 - 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 + \sqrt{39}}{5})$; $(\frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}, \frac{2 - \sqrt{39}}{5})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 6xy + 5y^2 - x + 5y = 0 \\ x^2 - 20y^2 = 5 \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Сгруппируем его члены, чтобы разложить на множители:

$ (x^2 - 6xy + 5y^2) - (x - 5y) = 0 $

Квадратичный трехчлен $x^2 - 6xy + 5y^2$ можно разложить на множители. Его корни относительно $x$ равны $x=y$ и $x=5y$. Таким образом:

$x^2 - 6xy + 5y^2 = (x - y)(x - 5y)$

Подставим это в первое уравнение:

$ (x - y)(x - 5y) - (x - 5y) = 0 $

Вынесем общий множитель $(x - 5y)$ за скобки:

$ (x - 5y)(x - y - 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два случая:

1. $x - 5y = 0 \implies x = 5y$

2. $x - y - 1 = 0 \implies x = y + 1$

Рассмотрим каждый случай, подставляя выражение для $x$ во второе уравнение системы $x^2 - 20y^2 = 5$.

Случай 1: $x = 5y$

Подставляем $x = 5y$ в уравнение $x^2 - 20y^2 = 5$:

$ (5y)^2 - 20y^2 = 5 $

$ 25y^2 - 20y^2 = 5 $

$ 5y^2 = 5 $

$ y^2 = 1 \implies y = \pm 1 $

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 5 \cdot 1 = 5$. Получаем решение $(5, 1)$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 5 \cdot (-1) = -5$. Получаем решение $(-5, -1)$.

Случай 2: $x = y + 1$

Подставляем $x = y + 1$ в уравнение $x^2 - 20y^2 = 5$:

$ (y + 1)^2 - 20y^2 = 5 $

$ y^2 + 2y + 1 - 20y^2 = 5 $

$ -19y^2 + 2y - 4 = 0 $

Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$ 19y^2 - 2y + 4 = 0 $

Найдем дискриминант этого уравнения:

$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 4 = 4 - 304 = -300 $

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней. Значит, в этом случае система решений не имеет.

Ответ: $(5, 1)$; $(-5, -1)$.