Номер 481, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Дополнительные упражнения к главе 4 - номер 481, страница 144.

Условие.

481. Докажите, что уравнение не имеет решений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^2 + 4xy + 4y^2 + 5 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат. Заметим, что первые три слагаемых образуют формулу квадрата суммы: $x^2 + 4xy + 4y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x + 2y)^2$.

Подставим это выражение обратно в уравнение: $(x + 2y)^2 + 5 = 0$.

Выражение $(x + 2y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x + 2y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.

Следовательно, левая часть уравнения $(x + 2y)^2 + 5$ всегда будет больше или равна 5: $(x + 2y)^2 + 5 \ge 0 + 5 = 5$.

Таким образом, левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю.

Ответ: Уравнение не имеет решений, так как сумма неотрицательного числа $(x + 2y)^2$ и положительного числа 5 не может быть равна нулю.

б) $x^2 - 2xy + 8 + y^2 = 0$

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения, чтобы выделить полный квадрат: $(x^2 - 2xy + y^2) + 8 = 0$.

Выражение в скобках представляет собой квадрат разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Уравнение принимает вид: $(x - y)^2 + 8 = 0$.

Так как $(x - y)^2$ — это квадрат действительного числа, его значение всегда неотрицательно: $(x - y)^2 \ge 0$.

Поэтому левая часть уравнения $(x - y)^2 + 8$ всегда больше или равна 8: $(x - y)^2 + 8 \ge 0 + 8 = 8$.

Это означает, что левая часть уравнения не может равняться нулю.

Ответ: Уравнение не имеет решений, поскольку сумма неотрицательного числа $(x - y)^2$ и положительного числа 8 всегда положительна.

в) $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$: $(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 6 = 0$.

Дополним каждую группу до полного квадрата: Для $x$: $x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1$. Для $y$: $y^2 - 4y = (y^2 - 4y + 4) - 4 = (y - 2)^2 - 4$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $((x - 1)^2 - 1) + ((y - 2)^2 - 4) + 6 = 0$ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 + 6 = 0$ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 = 0$.

Выражения $(x - 1)^2$ и $(y - 2)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому они неотрицательны: $(x - 1)^2 \ge 0$ и $(y - 2)^2 \ge 0$.

Их сумма также неотрицательна: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \ge 0$.

Тогда левая часть уравнения $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Следовательно, левая часть не может быть равна нулю.

Ответ: Уравнение не имеет решений, так как сумма двух неотрицательных чисел $((x-1)^2$ и $(y-2)^2)$ и положительного числа 1 не может равняться нулю.

г) $x^2y^2 - 2xy + 3 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $z = xy$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $z$: $z^2 - 2z + 3 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения можно найти его дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней для $z$.

Другой способ — выделить полный квадрат: $z^2 - 2z + 3 = (z^2 - 2z + 1) + 2 = (z - 1)^2 + 2$. Уравнение принимает вид $(z - 1)^2 + 2 = 0$.

Выражение $(z - 1)^2$ всегда неотрицательно: $(z - 1)^2 \ge 0$. Следовательно, левая часть уравнения $(z - 1)^2 + 2$ всегда больше или равна 2: $(z - 1)^2 + 2 \ge 2$. Левая часть не может равняться нулю.

Поскольку не существует такого действительного числа $z$, которое удовлетворяло бы уравнению, а $z=xy$, то не существует и таких действительных чисел $x$ и $y$, для которых исходное уравнение было бы верным.

Ответ: Уравнение не имеет решений, так как после замены $z = xy$ получается квадратное уравнение $z^2 - 2z + 3 = 0$, которое не имеет действительных корней (его дискриминант отрицателен).