Номер 494, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 494, страница 145.

Условие.

494. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 40, \\ xy = -12; \end{cases}$

Это симметрическая система. Её можно решить, выразив $(x+y)^2$ и $(x-y)^2$.

Известно, что $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$. Подставим значения из системы:

$(x+y)^2 = 40 + 2 \cdot (-12) = 40 - 24 = 16$.

Отсюда следует, что $x+y = 4$ или $x+y = -4$.

Также известно, что $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$. Подставим значения из системы:

$(x-y)^2 = 40 - 2 \cdot (-12) = 40 + 24 = 64$.

Отсюда следует, что $x-y = 8$ или $x-y = -8$.

Теперь мы можем составить четыре системы линейных уравнений, комбинируя полученные равенства:

1. Первая система:

$\begin{cases} x+y = 4, \\ x-y = 8. \end{cases}$

Складывая эти два уравнения, получаем $2x = 12$, откуда $x=6$. Подставляя $x=6$ в первое уравнение, находим $6+y=4$, откуда $y=-2$. Получаем решение $(6, -2)$.

2. Вторая система:

$\begin{cases} x+y = 4, \\ x-y = -8. \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -4$, откуда $x=-2$. Подставляя $x=-2$ в первое уравнение, находим $-2+y=4$, откуда $y=6$. Получаем решение $(-2, 6)$.

3. Третья система:

$\begin{cases} x+y = -4, \\ x-y = 8. \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставляя $x=2$ в первое уравнение, находим $2+y=-4$, откуда $y=-6$. Получаем решение $(2, -6)$.

4. Четвертая система:

$\begin{cases} x+y = -4, \\ x-y = -8. \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = -12$, откуда $x=-6$. Подставляя $x=-6$ в первое уравнение, находим $-6+y=-4$, откуда $y=2$. Получаем решение $(-6, 2)$.

Ответ: $(6, -2), (-2, 6), (2, -6), (-6, 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 228, \\ 3x^2 - 2y^2 = 172. \end{cases}$

Эта система является линейной относительно $x^2$ и $y^2$. Для её решения удобно использовать метод сложения. Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить переменную $y^2$:

$(x^2 + 2y^2) + (3x^2 - 2y^2) = 228 + 172$

$4x^2 = 400$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = 100$

Отсюда находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 10$, $x_2 = -10$.

Теперь подставим значение $x^2 = 100$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y^2$:

$100 + 2y^2 = 228$

$2y^2 = 228 - 100$

$2y^2 = 128$

Разделим обе части уравнения на 2:

$y^2 = 64$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = 8$, $y_2 = -8$.

Так как переменные $x$ и $y$ входят в уравнения только в квадрате, решением системы будет любая комбинация найденных значений $x$ и $y$. Таким образом, получаем четыре пары решений:

$(10, 8)$, $(10, -8)$, $(-10, 8)$, $(-10, -8)$.

Ответ: $(10, 8), (10, -8), (-10, 8), (-10, -8)$.