Номер 492, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 4. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 492, страница 145.

Условие.

492. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 3y = -1 \\ x^2 + 2xy + y = 3 \end{cases}$

Это система нелинейных уравнений, которую удобно решать методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = -1 - 3y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(-1 - 3y)^2 + 2(-1 - 3y)y + y = 3$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(1 + 6y + 9y^2) + (-2y - 6y^2) + y = 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(9y^2 - 6y^2) + (6y - 2y + y) + 1 = 3$

$3y^2 + 5y + 1 = 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3y^2 + 5y - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

Для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя формулу $x = -1 - 3y$:

1. При $y_1 = \frac{1}{3}$:

$x_1 = -1 - 3 \cdot \frac{1}{3} = -1 - 1 = -2$

2. При $y_2 = -2$:

$x_2 = -1 - 3 \cdot (-2) = -1 + 6 = 5$

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(-2; \frac{1}{3}), (5; -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 1 \\ xy - y^2 + 3x = -1 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 2x - 1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(2x - 1) - (2x - 1)^2 + 3x = -1$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2x^2 - x - (4x^2 - 4x + 1) + 3x = -1$

$2x^2 - x - 4x^2 + 4x - 1 + 3x = -1$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 4x^2) + (-x + 4x + 3x) - 1 = -1$

$-2x^2 + 6x - 1 = -1$

$-2x^2 + 6x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель за скобки:

$-2x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = 2x - 1$:

1. При $x_1 = 0$:

$y_1 = 2(0) - 1 = -1$

2. При $x_2 = 3$:

$y_2 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$

Система имеет два решения.

Ответ: $(0; -1), (3; 5)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x + y - 11 = 0 \\ 2x + 5y - y^2 - 6 = 0 \end{cases}$

В обоих уравнениях присутствует слагаемое $2x$. Это позволяет использовать метод подстановки или вычитания. Выразим $2x$ из первого уравнения:

$2x = 11 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(11 - y) + 5y - y^2 - 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:

$-y^2 + (5y - y) + (11 - 6) = 0$

$-y^2 + 4y + 5 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$y^2 - 4y - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно -5. Легко подобрать корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -1$.

Либо через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$

$y_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$

$y_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $2x = 11 - y$:

1. При $y_1 = 5$:

$2x_1 = 11 - 5 = 6 \implies x_1 = 3$

2. При $y_2 = -1$:

$2x_2 = 11 - (-1) = 12 \implies x_2 = 6$

Получили два решения системы.

Ответ: $(3; 5), (6; -1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - 3y^2 - 5x - 2y = 26 \\ x - y = 4 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из второго, линейного, уравнения выразим $x$:

$x = y + 4$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(y + 4)^2 - 3y^2 - 5(y + 4) - 2y = 26$

Раскроем скобки:

$2(y^2 + 8y + 16) - 3y^2 - 5y - 20 - 2y = 26$

$2y^2 + 16y + 32 - 3y^2 - 5y - 20 - 2y = 26$

Приведем подобные слагаемые:

$(2y^2 - 3y^2) + (16y - 5y - 2y) + (32 - 20) = 26$

$-y^2 + 9y + 12 = 26$

Перенесем 26 в левую часть:

$-y^2 + 9y - 14 = 0$

$y^2 - 9y + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, произведение равно 14. Корни: $y_1 = 2$, $y_2 = 7$.

Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = y + 4$:

1. При $y_1 = 2$:

$x_1 = 2 + 4 = 6$

2. При $y_2 = 7$:

$x_2 = 7 + 4 = 11$

Система имеет два решения.

Ответ: $(6; 2), (11; 7)$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x^2 - 9y^2 + x - 40y = 19 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$

В первом уравнении заметим выражение $4x^2 - 9y^2$, которое является разностью квадратов:

$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$

Перепишем первое уравнение, используя эту формулу:

$(2x - 3y)(2x + 3y) + x - 40y = 19$

Из второго уравнения системы известно, что $2x - 3y = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$5(2x + 3y) + x - 40y = 19$

Раскроем скобки и упростим:

$10x + 15y + x - 40y = 19$

$11x - 25y = 19$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 11x - 25y = 19 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -11, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$\begin{cases} 22x - 50y = 38 \\ -22x + 33y = -55 \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений:

$(22x - 50y) + (-22x + 33y) = 38 + (-55)$

$-17y = -17$

$y = 1$

Подставим $y=1$ в уравнение $2x - 3y = 5$ для нахождения $x$:

$2x - 3(1) = 5$

$2x - 3 = 5$

$2x = 8$

$x = 4$

Система имеет единственное решение.

Ответ: $(4; 1)$.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x^2 + y^2 + 8x + 13y = 5 \\ x - y + 2 = 0 \end{cases}$

Применим метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = x + 2$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x^2 + (x + 2)^2 + 8x + 13(x + 2) = 5$

Раскроем скобки:

$3x^2 + (x^2 + 4x + 4) + 8x + 13x + 26 = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 + x^2) + (4x + 8x + 13x) + (4 + 26) = 5$

$4x^2 + 25x + 30 = 5$

$4x^2 + 25x + 25 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 25^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 625 - 16 \cdot 25 = 625 - 400 = 225 = 15^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-25 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$

$x_2 = \frac{-25 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-40}{8} = -5$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x + 2$:

1. При $x_1 = -\frac{5}{4}$:

$y_1 = -\frac{5}{4} + 2 = -\frac{5}{4} + \frac{8}{4} = \frac{3}{4}$

2. При $x_2 = -5$:

$y_2 = -5 + 2 = -3$

Система имеет два решения.

Ответ: $(-\frac{5}{4}; \frac{3}{4}), (-5; -3)$.