Номер 418, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 418, страница 126.

Условие.

418. Найдите координаты точки пересечения графиков функций:

Решение 1.

Решение 8.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций $y = 5x - 7$ и $y = 3x + 1$, необходимо решить систему этих уравнений. В точке пересечения значения $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:
$5x - 7 = 3x + 1$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:
$5x - 3x = 1 + 7$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2} = 4$
Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Для нахождения ординаты (координаты $y$) подставим найденное значение $x = 4$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение $y = 3x + 1$:
$y = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$
Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(4, 13)$.
Ответ: $(4, 13)$.

б) Даны функции $y = -3x - 2$ и $y = 8x - 9$. Чтобы найти координаты их точки пересечения, приравняем выражения для $y$:
$-3x - 2 = 8x - 9$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$9 - 2 = 8x + 3x$
$7 = 11x$
$x = \frac{7}{11}$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = \frac{7}{11}$ в одно из уравнений. Используем второе уравнение $y = 8x - 9$:
$y = 8 \cdot \frac{7}{11} - 9 = \frac{56}{11} - \frac{9 \cdot 11}{11} = \frac{56 - 99}{11} = -\frac{43}{11}$
Координаты точки пересечения: $(\frac{7}{11}, -\frac{43}{11})$.
Ответ: $(\frac{7}{11}, -\frac{43}{11})$.

в) Даны функции $y = 0,4x - 5$ и $y = -0,1x - 3$. Для нахождения точки пересечения их графиков приравняем правые части уравнений:
$0,4x - 5 = -0,1x - 3$
Решим полученное уравнение относительно $x$:
$0,4x + 0,1x = 5 - 3$
$0,5x = 2$
$x = \frac{2}{0,5} = 4$
Теперь найдем координату $y$, подставив $x = 4$ в первое уравнение $y = 0,4x - 5$:
$y = 0,4 \cdot 4 - 5 = 1,6 - 5 = -3,4$
Координаты точки пересечения: $(4, -3,4)$.
Ответ: $(4, -3,4)$.

г) Даны функции $y = 23x - 6$ и $y = -2x + 9$. Приравниваем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения:
$23x - 6 = -2x + 9$
Решаем уравнение для $x$:
$23x + 2x = 9 + 6$
$25x = 15$
$x = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$
Найдем ординату $y$, подставив значение $x = \frac{3}{5}$ во второе уравнение $y = -2x + 9$:
$y = -2 \cdot \frac{3}{5} + 9 = -\frac{6}{5} + \frac{45}{5} = \frac{39}{5}$
Координаты точки пересечения: $(\frac{3}{5}, \frac{39}{5})$. Это также можно записать в виде десятичных дробей: $(0.6, 7.8)$.
Ответ: $(\frac{3}{5}, \frac{39}{5})$.

д) Даны функции $y = 98x$ и $y = -102x - 3$. Приравниваем правые части:
$98x = -102x - 3$
Решаем уравнение для $x$:
$98x + 102x = -3$
$200x = -3$
$x = -\frac{3}{200}$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение $y = 98x$:
$y = 98 \cdot (-\frac{3}{200}) = -\frac{98 \cdot 3}{200} = -\frac{294}{200} = -\frac{147}{100} = -1,47$
Координаты точки пересечения: $(-\frac{3}{200}, -1,47)$.
Ответ: $(-\frac{3}{200}, -1,47)$.

е) Даны функции $y = -3$ и $y = 36x + 1$. Первая функция — это горизонтальная прямая, у которой координата $y$ постоянна и равна $-3$. Приравниваем выражения для $y$:
$-3 = 36x + 1$
Решаем уравнение для $x$:
$-3 - 1 = 36x$
$-4 = 36x$
$x = -\frac{4}{36} = -\frac{1}{9}$
Координата $y$ точки пересечения уже известна из первого уравнения: $y = -3$.
Координаты точки пересечения: $(-\frac{1}{9}, -3)$.
Ответ: $(-\frac{1}{9}, -3)$.