Номер 412, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

21. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 412, страница 125.

№412 (с. 125)
Условие. №412 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 125, номер 412, Условие

412. Не решая систему уравнений, выясните, имеет ли система решения и если имеет, то сколько:

Не решая систему уравнений, выяснить, имеет ли система решения и если имеет, то сколько
Решение 1. №412 (с. 125)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 125, номер 412, Решение 1
Решение 8. №412 (с. 125)

Для определения количества решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными вида$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $, не решая её, достаточно сравнить отношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

  • Если отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$, то есть $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, то система имеет единственное решение. Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке.
  • Если отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, то система не имеет решений. Геометрически это означает, что прямые параллельны и не совпадают.
  • Если все три отношения равны, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, то система имеет бесконечно много решений. Геометрически это означает, что прямые совпадают.

Применим этот метод к каждой из систем.

а) Дана система $\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ 3x + 2y = 2 \end{cases}$.
Здесь $a_1=2, b_1=3, a_2=3, b_2=2$.
Сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{2}$.
Так как $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$, то система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.

б) Дана система $\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ 4x + 6y = 2 \end{cases}$.
Здесь $a_1=2, b_1=3, c_1=4$ и $a_2=4, b_2=6, c_2=2$.
Найдем отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{2} = 2$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (поскольку $\frac{1}{2} \neq 2$), система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

в) Дана система $\begin{cases} 3x - 6y = 2 \\ -x + 2y = -1 \end{cases}$.
Здесь $a_1=3, b_1=-6, c_1=2$ и $a_2=-1, b_2=2, c_2=-1$.
Найдем отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{-1} = -3$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-6}{2} = -3$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{-1} = -2$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (поскольку $-3 \neq -2$), система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

г) Дана система $\begin{cases} 2x = 5 \\ 3x + 2y = 2 \end{cases}$.
Первое уравнение можно записать в виде $2x + 0y = 5$.
Тогда $a_1=2, b_1=0, a_2=3, b_2=2$.
Сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{0}{2} = 0$.
Так как $\frac{2}{3} \neq 0$, система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.

д) Дана система $\begin{cases} 3y = 4 \\ 4x + 6y = 1 \end{cases}$.
Первое уравнение можно записать в виде $0x + 3y = 4$.
Тогда $a_1=0, b_1=3, a_2=4, b_2=6$.
Сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{0}{4} = 0$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Так как $0 \neq \frac{1}{2}$, система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.

е) Дана система $\begin{cases} 3x + 5y = -6 \\ 9x + 15y = -18 \end{cases}$.
Здесь $a_1=3, b_1=5, c_1=-6$ и $a_2=9, b_2=15, c_2=-18$.
Найдем отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{-18} = \frac{1}{3}$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 412 расположенного на странице 125 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №412 (с. 125), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.