Номер 410, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 410, страница 123.

Условие.

410. Докажите, что при a › –1 выражение

принимает положительные значения при всех допустимых значениях а.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного утверждения необходимо упростить выражение и проанализировать знак результата с учетом заданного условия $a > -1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатели дробей и делитель не должны быть равны нулю.
1. $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$
2. $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$
3. Делитель $\frac{4a}{5a-5} \neq 0 \implies 4a \neq 0 \implies a \neq 0$.
Таким образом, ОДЗ: $a \neq -1, a \neq 0, a \neq 1$.

Теперь упростим выражение по действиям.
1. Выполним вычитание дробей в скобках.
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)(a+1)$:
$\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{a^2-1}$
Применим к числителю формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$\frac{((a+1)-(a-1))((a+1)+(a-1))}{a^2-1} = \frac{(a+1-a+1)(a+1+a-1)}{a^2-1} = \frac{2 \cdot 2a}{a^2-1} = \frac{4a}{a^2-1}$

2. Выполним деление.
Результат первого действия разделим на дробь $\frac{4a}{5a-5}$:
$\frac{4a}{a^2-1} : \frac{4a}{5a-5} = \frac{4a}{a^2-1} \cdot \frac{5a-5}{4a}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй, а затем сократим:
$\frac{4a}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{5(a-1)}{4a} = \frac{\cancel{4a} \cdot 5 \cdot \cancel{(a-1)}}{\cancel{(a-1)} \cdot (a+1) \cdot \cancel{4a}} = \frac{5}{a+1}$

3. Проанализируем знак полученного выражения.
В результате упрощения исходное выражение приняло вид $\frac{5}{a+1}$.
По условию задачи, $a > -1$.
Если к обеим частям этого неравенства прибавить 1, получим:
$a+1 > -1+1 \implies a+1 > 0$.
Знаменатель дроби $a+1$ является положительным числом. Числитель дроби равен 5, что также является положительным числом.
Отношение двух положительных чисел всегда положительно.
Следовательно, выражение $\frac{5}{a+1}$ принимает положительные значения при всех допустимых значениях $a$ из условия $a > -1$.

Ответ: Утверждение доказано. После упрощения выражение принимает вид $\frac{5}{a+1}$. При $a > -1$ знаменатель $a+1 > 0$, а числитель 5 положителен, поэтому все выражение принимает только положительные значения.