Номер 405, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 405, страница 123.
№405 (с. 123)
Условие. №405 (с. 123)
скриншот условия

405. Сколько общих точек имеют окружность и прямая:

Решение 1. №405 (с. 123)

Решение 8. №405 (с. 123)
Для того чтобы определить, сколько общих точек имеют окружность и прямая, необходимо найти количество решений соответствующей системы уравнений. Каждая общая точка соответствует одному решению системы. Мы решим каждую задачу методом подстановки, который приведет к квадратному уравнению. Количество действительных корней этого уравнения будет равно количеству общих точек.
а) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = 2x + 3 \end{cases}$.
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x^2 + (2x + 3)^2 = 9$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (4x^2 + 12x + 9) = 9$
$5x^2 + 12x + 9 - 9 = 0$
$5x^2 + 12x = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Для определения количества его корней найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a=5$, $b=12$, $c=0$.
$D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 0 = 144 - 0 = 144$
Поскольку $D > 0$ ($144 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, окружность и прямая пересекаются в двух точках.
Ответ: 2.
б) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 7 \\ y - 4x = 2 \end{cases}$.
Сначала выразим $y$ из второго уравнения: $y = 4x + 2$.
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + (4x + 2)^2 = 7$
Раскроем скобки и упростим:
$x^2 + (16x^2 + 16x + 4) = 7$
$17x^2 + 16x + 4 - 7 = 0$
$17x^2 + 16x - 3 = 0$
Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения, где $a=17$, $b=16$, $c=-3$:
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-3) = 256 + 204 = 460$
Поскольку $D > 0$ ($460 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что прямая и окружность имеют две общие точки.
Ответ: 2.
в) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ y + 4x = -5 \end{cases}$.
Выразим $y$ из второго уравнения: $y = -4x - 5$.
Подставим полученное выражение в уравнение окружности:
$x^2 + (-4x - 5)^2 = 5$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (16x^2 + 40x + 25) = 5$
$17x^2 + 40x + 25 - 5 = 0$
$17x^2 + 40x + 20 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения, где $a=17$, $b=40$, $c=20$:
$D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 17 \cdot 20 = 1600 - 1360 = 240$
Поскольку $D > 0$ ($240 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, окружность и прямая имеют две точки пересечения.
Ответ: 2.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 405 расположенного на странице 123 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №405 (с. 123), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.