Номер 405, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 20. Решение систем уравнений с двумя переменными - номер 405, страница 123.

Условие.

405. Сколько общих точек имеют окружность и прямая:

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы определить, сколько общих точек имеют окружность и прямая, необходимо найти количество решений соответствующей системы уравнений. Каждая общая точка соответствует одному решению системы. Мы решим каждую задачу методом подстановки, который приведет к квадратному уравнению. Количество действительных корней этого уравнения будет равно количеству общих точек.

а) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = 2x + 3 \end{cases}$.

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (2x + 3)^2 = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (4x^2 + 12x + 9) = 9$

$5x^2 + 12x + 9 - 9 = 0$

$5x^2 + 12x = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Для определения количества его корней найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a=5$, $b=12$, $c=0$.

$D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 0 = 144 - 0 = 144$

Поскольку $D > 0$ ($144 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, окружность и прямая пересекаются в двух точках.

Ответ: 2.

б) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 7 \\ y - 4x = 2 \end{cases}$.

Сначала выразим $y$ из второго уравнения: $y = 4x + 2$.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (4x + 2)^2 = 7$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + (16x^2 + 16x + 4) = 7$

$17x^2 + 16x + 4 - 7 = 0$

$17x^2 + 16x - 3 = 0$

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения, где $a=17$, $b=16$, $c=-3$:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-3) = 256 + 204 = 460$

Поскольку $D > 0$ ($460 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что прямая и окружность имеют две общие точки.

Ответ: 2.

в) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ y + 4x = -5 \end{cases}$.

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = -4x - 5$.

Подставим полученное выражение в уравнение окружности:

$x^2 + (-4x - 5)^2 = 5$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (16x^2 + 40x + 25) = 5$

$17x^2 + 40x + 25 - 5 = 0$

$17x^2 + 40x + 20 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения, где $a=17$, $b=40$, $c=20$:

$D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 17 \cdot 20 = 1600 - 1360 = 240$

Поскольку $D > 0$ ($240 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, окружность и прямая имеют две точки пересечения.

Ответ: 2.