Номер 398, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 398, страница 122.

Условие.

398. (Для работы в парах.) С помощью графиков решите систему уравнений:

1) Обсудите, какое множество точек задаёт на плоскости каждое уравнение системы в заданиях а) и б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики уравнений и определены координаты точек пересечения графиков.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения систем уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут являться решениями системы.

а)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} xy = 6, \\ 2x - 3y = 6; \end{cases} $

1. Первое уравнение $xy = 6$ можно представить в виде функции $y = \frac{6}{x}$. Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, так как $6 > 0$. Оси координат являются асимптотами для графика.

Составим таблицу значений для построения гиперболы $y = \frac{6}{x}$:

$x$	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
$y$	-1	-2	-3	-6	6	3	2	1

2. Второе уравнение $2x - 3y = 6$ является линейным уравнением. Его графиком является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Выразим $y$ через $x$:
$3y = 2x - 6$
$y = \frac{2}{3}x - 2$

Найдем координаты двух точек для построения прямой:
Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{3} \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
Если $x = 3$, то $y = \frac{2}{3} \cdot 3 - 2 = 2 - 2 = 0$. Точка $(3, 0)$.

3. Построим графики гиперболы и прямой в одной системе координат.

Графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты по чертежу.
Первая точка пересечения находится в III четверти, её примерные координаты $(-1.8, -3.2)$.
Вторая точка пересечения находится в I четверти, её примерные координаты $(4.8, 1.2)$.

Примечание: Точные решения этой системы являются иррациональными числами, поэтому при графическом методе можно найти только их приближенные значения.

Ответ: $(-1.8, -3.2)$, $(4.8, 1.2)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ y - x^2 = 0; \end{cases} $

1. Первое уравнение $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$ — это уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Центр окружности находится в точке $(a, b) = (3, 4)$.
Радиус окружности $R = \sqrt{4} = 2$.

2. Второе уравнение $y - x^2 = 0$ можно представить в виде $y = x^2$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Составим таблицу значений для построения параболы $y = x^2$:

$x$	-2	-1	0	1	2	2.5
$y$	4	1	0	1	4	6.25

3. Построим графики окружности и параболы в одной системе координат.

Из графика видно, что парабола и окружность пересекаются в двух точках.
Определим их примерные координаты по чертежу.
Первая точка пересечения имеет координаты примерно $(1.7, 2.9)$.
Вторая точка пересечения имеет координаты примерно $(2.4, 5.8)$.

Примечание: Точные решения этой системы также являются иррациональными числами, поэтому при графическом методе можно найти только их приближенные значения.

Ответ: $(1.7, 2.9)$, $(2.4, 5.8)$.