Номер 395, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 20. Решение систем уравнений с двумя переменными - номер 395, страница 122.

Условие.

395. Окружность (x – 4)² + (y – 6)² = 25 и прямая y = kx имеют общую точку M(1; 2). Найдите координаты другой общей точки, если такая точка существует.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи сначала найдем конкретное уравнение прямой, определив коэффициент $k$. Затем найдем все точки пересечения этой прямой с окружностью, решив систему уравнений.

Уравнение окружности: $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$.
Уравнение прямой: $y = kx$.

Поскольку точка $M(1; 2)$ является общей, она принадлежит и прямой, и окружности. Подставим ее координаты в уравнение прямой, чтобы найти коэффициент $k$:
$2 = k \cdot 1$
Отсюда получаем $k = 2$.
Таким образом, уравнение прямой имеет вид $y = 2x$.

Теперь найдем координаты всех общих точек, решив систему уравнений:
$\begin{cases} (x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25 \\ y = 2x \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$(x - 4)^2 + (2x - 6)^2 = 25$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$(x^2 - 8x + 16) + (4x^2 - 24x + 36) = 25$
$5x^2 - 32x + 52 = 25$
$5x^2 - 32x + 27 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Корни этого уравнения — это абсциссы точек пересечения. Один корень нам уже известен — это абсцисса точки $M$, то есть $x_1 = 1$. Для нахождения второго корня $x_2$ воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для уравнения $ax^2+bx+c=0$, произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. В нашем случае:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{27}{5}$
Подставим известный корень $x_1 = 1$:
$1 \cdot x_2 = \frac{27}{5}$
$x_2 = \frac{27}{5}$

Теперь найдем соответствующую ординату $y_2$ для второй точки, подставив значение $x_2$ в уравнение прямой $y = 2x$:
$y_2 = 2 \cdot x_2 = 2 \cdot \frac{27}{5} = \frac{54}{5}$

Таким образом, координаты другой общей точки: $(\frac{27}{5}; \frac{54}{5})$.

Ответ: $(\frac{27}{5}; \frac{54}{5})$.