Номер 396, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 396, страница 122.

Условие.

396. Покажите с помощью графиков, что система уравнений имеет четыре решения, и найдите их.

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы показать, что система уравнений имеет четыре решения, построим графики функций, заданных уравнениями, в одной системе координат. Количество точек пересечения графиков будет равно количеству решений системы.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение, $y = x^2 - 6$, задает параболу. Ее график получен сдвигом стандартной параболы $y = x^2$ на 6 единиц вниз по оси OY. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -6)$, а ее ветви направлены вверх.

Построим эскизы графиков. Окружность проходит через точки $(5, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, 5)$ и $(0, -5)$. Вершина параболы $(0, -6)$ находится ниже окружности. Так как ветви параболы направлены вверх, они пересекут окружность. В силу симметрии обоих графиков относительно оси OY, будет две точки пересечения в правой полуплоскости (где $x > 0$) и две симметричные им точки в левой полуплоскости (где $x < 0$). Таким образом, графики пересекаются в четырех точках, что и доказывает наличие четырех решений у системы.

Теперь найдем эти решения аналитически. Решим систему уравнений:$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = x^2 - 6 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x^2$:$$ x^2 = y + 6 $$Подставим это выражение для $x^2$ в первое уравнение системы:$$ (y + 6) + y^2 = 25 $$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$:$$ y^2 + y - 19 = 0 $$Решим его с помощью дискриминанта.$$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 1 + 76 = 77 $$Корни уравнения:$$ y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{77}}{2} $$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x^2 = y + 6$.

1. Для $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{77}}{2}$:$$ x^2 = \frac{-1 + \sqrt{77}}{2} + 6 = \frac{-1 + \sqrt{77} + 12}{2} = \frac{11 + \sqrt{77}}{2} $$Так как $11 + \sqrt{77} > 0$, получаем два значения для $x$:$$ x = \pm\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}} $$Это дает два решения: $\left( \sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{77}}{2} \right)$ и $\left( -\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{77}}{2} \right)$.

2. Для $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{77}}{2}$:$$ x^2 = \frac{-1 - \sqrt{77}}{2} + 6 = \frac{-1 - \sqrt{77} + 12}{2} = \frac{11 - \sqrt{77}}{2} $$Так как $11 = \sqrt{121}$ и $\sqrt{77} < \sqrt{121}$, то $11 - \sqrt{77} > 0$. Следовательно, получаем еще два значения для $x$:$$ x = \pm\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}} $$Это дает еще два решения: $\left( \sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 - \sqrt{77}}{2} \right)$ и $\left( -\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 - \sqrt{77}}{2} \right)$.

Ответ: Система имеет четыре решения. Координаты точек пересечения:$$ \left( \sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{77}}{2} \right); \quad \left( -\sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{77}}{2} \right); $$$$ \left( \sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 - \sqrt{77}}{2} \right); \quad \left( -\sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}}, \frac{-1 - \sqrt{77}}{2} \right). $$