Номер 390, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 390, страница 121.

Условие.

390. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11, \\ x - 2y = 1; \end{cases}$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Выразим переменную x из второго, более простого, уравнения:

$x = 1 + 2y$

Теперь подставим это выражение для x в первое уравнение системы:

$(1 + 2y)^2 + (1 + 2y)y - y^2 = 11$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$(1 + 4y + 4y^2) + (y + 2y^2) - y^2 = 11$

Приведем подобные слагаемые:

$1 + 4y + 4y^2 + y + 2y^2 - y^2 = 11$

$5y^2 + 5y + 1 = 11$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5y^2 + 5y - 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1. Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(y + 2)(y - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для y:

$y_1 = 1$ или $y_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного y, используя выражение $x = 1 + 2y$.

1. Если $y_1 = 1$, то:

$x_1 = 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3$

Получаем первую пару решений $(3, 1)$.

2. Если $y_2 = -2$, то:

$x_2 = 1 + 2(-2) = 1 - 4 = -3$

Получаем вторую пару решений $(-3, -2)$.

Проверим найденные решения. Для $(3, 1)$:

$3^2 + 3 \cdot 1 - 1^2 = 9 + 3 - 1 = 11$ (верно)

$3 - 2 \cdot 1 = 1$ (верно)

Для $(-3, -2)$:

$(-3)^2 + (-3)(-2) - (-2)^2 = 9 + 6 - 4 = 11$ (верно)

$(-3) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$ (верно)

Ответ: $(3, 1), (-3, -2)$.

---

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9, \\ 3x + 2y = -1; \end{cases}$

Для решения этой системы также используем метод подстановки. Выразим y из второго уравнения:

$2y = -1 - 3x$

$y = \frac{-1 - 3x}{2}$

Подставим это выражение для y в первое уравнение системы:

$x^2 + x\left(\frac{-1 - 3x}{2}\right) - 3\left(\frac{-1 - 3x}{2}\right) = 9$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 2:

$2x^2 + x(-1 - 3x) - 3(-1 - 3x) = 18$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - x - 3x^2 + 3 + 9x = 18$

$-x^2 + 8x + 3 = 18$

Перенесем все члены в левую часть и приведем уравнение к стандартному виду:

$-x^2 + 8x - 15 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Корнями являются числа 3 и 5.

$(x - 3)(x - 5) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для x:

$x_1 = 3$ или $x_2 = 5$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого x, используя выражение $y = \frac{-1 - 3x}{2}$.

1. Если $x_1 = 3$, то:

$y_1 = \frac{-1 - 3(3)}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Получаем первую пару решений $(3, -5)$.

2. Если $x_2 = 5$, то:

$y_2 = \frac{-1 - 3(5)}{2} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Получаем вторую пару решений $(5, -8)$.

Проверим найденные решения. Для $(3, -5)$:

$3^2 + 3(-5) - 3(-5) = 9 - 15 + 15 = 9$ (верно)

$3(3) + 2(-5) = 9 - 10 = -1$ (верно)

Для $(5, -8)$:

$5^2 + 5(-8) - 3(-8) = 25 - 40 + 24 = 9$ (верно)

$3(5) + 2(-8) = 15 - 16 = -1$ (верно)

Ответ: $(3, -5), (5, -8)$.