Номер 397, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 397, страница 122.

Условие.

397. Решите графически систему уравнений

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график для каждого уравнения на одной координатной плоскости. Координаты точек пересечения этих графиков и будут решением системы.

График уравнения $x^2 + y^2 = 100$

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 100$, представляет собой уравнение окружности. Стандартный вид уравнения окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ — это $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$. В нашем случае центр окружности находится в начале координат $(0, 0)$, а квадрат радиуса $r^2 = 100$. Следовательно, радиус окружности $r = \sqrt{100} = 10$.

График уравнения $y = \frac{1}{2}x^2 - 10$

Второе уравнение, $y = \frac{1}{2}x^2 - 10$, представляет собой уравнение параболы. Так как коэффициент при $x^2$ положителен $(\frac{1}{2} > 0)$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_v$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для данного уравнения $a = \frac{1}{2}$ и $b = 0$, поэтому $x_v = 0$. Ордината вершины $y_v$ равна значению функции в точке $x_v$: $y_v = \frac{1}{2}(0)^2 - 10 = -10$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -10)$.

Для построения параболы найдем несколько дополнительных точек, подставив различные значения $x$:
Если $x = \pm 2$, то $y = \frac{1}{2}(4) - 10 = -8$. Точки: $(-2, -8)$ и $(2, -8)$.
Если $x = \pm 4$, то $y = \frac{1}{2}(16) - 10 = -2$. Точки: $(-4, -2)$ и $(4, -2)$.
Если $x = \pm 6$, то $y = \frac{1}{2}(36) - 10 = 8$. Точки: $(-6, 8)$ и $(6, 8)$.

Построение графиков и нахождение решения

Теперь построим оба графика в одной системе координат: окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом 10, и параболу с вершиной в $(0, -10)$ и ветвями вверх.

При совмещении графиков мы ищем их общие точки.
- Вершина параболы, точка $(0, -10)$, является точкой на окружности, так как при подстановке ее координат в уравнение окружности получаем верное равенство: $0^2 + (-10)^2 = 0 + 100 = 100$. Это первая точка пересечения.
- Из-за симметрии обоих графиков относительно оси OY, другие точки пересечения также должны быть симметричны. Проверим точки $(\pm 6, 8)$, которые мы рассчитали для параболы. Подставим их в уравнение окружности: $(\pm 6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Равенство верное, значит, точки $(-6, 8)$ и $(6, 8)$ также являются точками пересечения.
Таким образом, графики пересекаются в трех точках, координаты которых и являются решением системы.

Ответ: $(-6, 8)$, $(6, 8)$, $(0, -10)$.