Номер 394, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 20. Решение систем уравнений с двумя переменными - номер 394, страница 122.

Условие.

394. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

а) окружности x² + y² = 36 и параболы y = x² + 6;

б) окружностей x² + y² = 16 и (x – 2)² + y² = 36;

в) окружности x² + y² = 25 и прямой 4x – y = 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 36$ и параболы $y = x^2 + 6$, необходимо решить систему уравнений, задающих эти кривые:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 36 \\ y = x^2 + 6 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x^2$: $x^2 = y - 6$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(y - 6) + y^2 = 36$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$y^2 + y - 42 = 0$

Решим это уравнение, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-42$. Этим условиям удовлетворяют числа $6$ и $-7$.

$y_1 = 6$, $y_2 = -7$.

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя выражение $x^2 = y - 6$.

1. При $y = 6$:

$x^2 = 6 - 6 = 0$, следовательно, $x = 0$.

Таким образом, одна точка пересечения — $(0, 6)$.

2. При $y = -7$:

$x^2 = -7 - 6 = -13$.

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, других точек пересечения нет.

Ответ: $(0, 6)$.

б)

Чтобы найти координаты точек пересечения двух окружностей $x^2 + y^2 = 16$ и $(x - 2)^2 + y^2 = 36$, решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ (x - 2)^2 + y^2 = 36 \end{cases} $

Из первого уравнения можно выразить $y^2 = 16 - x^2$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x - 2)^2 + (16 - x^2) = 36$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 - 4x + 4 + 16 - x^2 = 36$

$-4x + 20 = 36$

Решим это линейное уравнение относительно $x$:

$-4x = 36 - 20$

$-4x = 16$

$x = -4$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = -4$ в уравнение $y^2 = 16 - x^2$:

$y^2 = 16 - (-4)^2 = 16 - 16 = 0$

Отсюда $y = 0$.

Таким образом, окружности имеют только одну общую точку (точку касания).

Ответ: $(-4, 0)$.

в)

Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 25$ и прямой $4x - y = 0$, решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ 4x - y = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения легко выразить $y$ через $x$:

$y = 4x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (4x)^2 = 25$

Решим полученное уравнение:

$x^2 + 16x^2 = 25$

$17x^2 = 25$

$x^2 = \frac{25}{17}$

Из этого уравнения находим два значения для $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{25}{17}} = \pm\frac{5}{\sqrt{17}} = \pm\frac{5\sqrt{17}}{17}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = 4x$.

1. Если $x_1 = \frac{5\sqrt{17}}{17}$, то

$y_1 = 4 \cdot \frac{5\sqrt{17}}{17} = \frac{20\sqrt{17}}{17}$

Первая точка пересечения: $(\frac{5\sqrt{17}}{17}, \frac{20\sqrt{17}}{17})$.

2. Если $x_2 = -\frac{5\sqrt{17}}{17}$, то

$y_2 = 4 \cdot (-\frac{5\sqrt{17}}{17}) = -\frac{20\sqrt{17}}{17}$

Вторая точка пересечения: $(-\frac{5\sqrt{17}}{17}, -\frac{20\sqrt{17}}{17})$.

Ответ: $(\frac{5\sqrt{17}}{17}, \frac{20\sqrt{17}}{17})$ и $(-\frac{5\sqrt{17}}{17}, -\frac{20\sqrt{17}}{17})$.