Номер 394, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 394, страница 122.
№394 (с. 122)
Условие. №394 (с. 122)
скриншот условия

394. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:
а) окружности x² + y² = 36 и параболы y = x² + 6;
б) окружностей x² + y² = 16 и (x – 2)² + y² = 36;
в) окружности x² + y² = 25 и прямой 4x – y = 0.
Решение 1. №394 (с. 122)

Решение 2. №394 (с. 122)



Решение 3. №394 (с. 122)

Решение 4. №394 (с. 122)

Решение 5. №394 (с. 122)

Решение 7. №394 (с. 122)


Решение 8. №394 (с. 122)
Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 36$ и параболы $y = x^2 + 6$, необходимо решить систему уравнений, задающих эти кривые:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 36 \\ y = x^2 + 6 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x^2$: $x^2 = y - 6$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$(y - 6) + y^2 = 36$
Получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$y^2 + y - 42 = 0$
Решим это уравнение, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-42$. Этим условиям удовлетворяют числа $6$ и $-7$.
$y_1 = 6$, $y_2 = -7$.
Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя выражение $x^2 = y - 6$.
1. При $y = 6$:
$x^2 = 6 - 6 = 0$, следовательно, $x = 0$.
Таким образом, одна точка пересечения — $(0, 6)$.
2. При $y = -7$:
$x^2 = -7 - 6 = -13$.
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, других точек пересечения нет.
Ответ: $(0, 6)$.
б)Чтобы найти координаты точек пересечения двух окружностей $x^2 + y^2 = 16$ и $(x - 2)^2 + y^2 = 36$, решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ (x - 2)^2 + y^2 = 36 \end{cases} $
Из первого уравнения можно выразить $y^2 = 16 - x^2$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$(x - 2)^2 + (16 - x^2) = 36$
Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:
$x^2 - 4x + 4 + 16 - x^2 = 36$
$-4x + 20 = 36$
Решим это линейное уравнение относительно $x$:
$-4x = 36 - 20$
$-4x = 16$
$x = -4$
Теперь найдем значение $y$, подставив $x = -4$ в уравнение $y^2 = 16 - x^2$:
$y^2 = 16 - (-4)^2 = 16 - 16 = 0$
Отсюда $y = 0$.
Таким образом, окружности имеют только одну общую точку (точку касания).
Ответ: $(-4, 0)$.
в)Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 25$ и прямой $4x - y = 0$, решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ 4x - y = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения легко выразить $y$ через $x$:
$y = 4x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + (4x)^2 = 25$
Решим полученное уравнение:
$x^2 + 16x^2 = 25$
$17x^2 = 25$
$x^2 = \frac{25}{17}$
Из этого уравнения находим два значения для $x$:
$x = \pm\sqrt{\frac{25}{17}} = \pm\frac{5}{\sqrt{17}} = \pm\frac{5\sqrt{17}}{17}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = 4x$.
1. Если $x_1 = \frac{5\sqrt{17}}{17}$, то
$y_1 = 4 \cdot \frac{5\sqrt{17}}{17} = \frac{20\sqrt{17}}{17}$
Первая точка пересечения: $(\frac{5\sqrt{17}}{17}, \frac{20\sqrt{17}}{17})$.
2. Если $x_2 = -\frac{5\sqrt{17}}{17}$, то
$y_2 = 4 \cdot (-\frac{5\sqrt{17}}{17}) = -\frac{20\sqrt{17}}{17}$
Вторая точка пересечения: $(-\frac{5\sqrt{17}}{17}, -\frac{20\sqrt{17}}{17})$.
Ответ: $(\frac{5\sqrt{17}}{17}, \frac{20\sqrt{17}}{17})$ и $(-\frac{5\sqrt{17}}{17}, -\frac{20\sqrt{17}}{17})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 394 расположенного на странице 122 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №394 (с. 122), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.