Номер 399, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

399. Решите графически систему уравнений:

а) Для решения системы уравнений графически построим графики каждого уравнения на одной координатной плоскости.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 16$, представляет собой уравнение окружности. Центр этой окружности находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, а ее радиус равен $r = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение, $x + y + 2 = 0$, является линейным уравнением. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение прямой в явном виде: $y = -x - 2$. Это прямая с угловым коэффициентом $-1$ и пересекающая ось ординат в точке $(0, -2)$. Для построения прямой найдем две точки, принадлежащие ей: если $x = 0$, то $y = -2$ (точка $(0, -2)$), и если $x = -2$, то $y = 0$ (точка $(-2, 0)$).

Построив окружность и прямую на одной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и являются решениями системы. Точное определение координат из графика может быть затруднительным. Алгебраическое решение (подстановка $y$ из второго уравнения в первое) дает два решения.

Графически мы можем оценить, что точки пересечения находятся во второй и четвертой четвертях. Их точные координаты: $(-1 - \sqrt{7}, -1 + \sqrt{7})$ и $(-1 + \sqrt{7}, -1 - \sqrt{7})$.

Ответ: $(-1 - \sqrt{7}, -1 + \sqrt{7})$, $(-1 + \sqrt{7}, -1 - \sqrt{7})$.

б) Рассмотрим уравнения системы.

Первое уравнение, $xy = 8$, можно переписать как $y = \frac{8}{x}$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах. Асимптотами являются оси координат.

Второе уравнение, $x + y + 3 = 0$, преобразуем к виду $y = -x - 3$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $-1$ и пересекающей ось $y$ в точке $(0, -3)$.

Построим графики гиперболы и прямой. Для гиперболы можно взять точки $(2, 4)$, $(4, 2)$, $(-2, -4)$, $(-4, -2)$. Для прямой — точки $(0, -3)$ и $(-3, 0)$.

После построения графиков видно, что прямая и гипербола не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Это означает, что система уравнений не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений.

в) Рассмотрим уравнения системы.

Первое уравнение, $xy - 3 = 0$, или $y = \frac{3}{x}$, является уравнением гиперболы с ветвями в первой и третьей четвертях.

Второе уравнение, $2y - 3x = 3$, является линейным. Выразим $y$: $2y = 3x + 3$, откуда $y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$. Это прямая, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(1, 3)$.

Построим графики гиперболы $y = \frac{3}{x}$ и прямой $y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$ на одной координатной плоскости. Мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек легко считываются с графика, так как они целочисленны или имеют простые дробные значения.

Точки пересечения: одна в первом квадранте и одна в третьем.

• Первая точка пересечения: $(1, 3)$. Проверка: $1 \cdot 3 = 3$; $2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 = 6 - 3 = 3$. Верно.
• Вторая точка пересечения: $(-2, -1.5)$. Проверка: $(-2) \cdot (-1.5) = 3$; $2 \cdot (-1.5) - 3 \cdot (-2) = -3 + 6 = 3$. Верно.

Ответ: $(1, 3)$, $(-2, -1.5)$.

г) Рассмотрим уравнения системы.

Первое уравнение, $x^2 - y = 0$, или $y = x^2$, задает параболу с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Второе уравнение, $(9x + 4)(y - 9) = 0$, распадается на два линейных уравнения, так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$9x + 4 = 0$ или $y - 9 = 0$.
Это дает нам два уравнения прямых: $x = -\frac{4}{9}$ (вертикальная прямая) и $y = 9$ (горизонтальная прямая).

Решениями системы являются точки, которые принадлежат параболе $y = x^2$ и одновременно одной из прямых: либо $x = -\frac{4}{9}$, либо $y = 9$.

Найдем точки пересечения параболы с каждой из прямых:

1. Пересечение $y=x^2$ и $y=9$: Подставляем $y=9$ в уравнение параболы: $9 = x^2$, откуда $x = \pm 3$. Получаем две точки: $(3, 9)$ и $(-3, 9)$.
2. Пересечение $y=x^2$ и $x = -\frac{4}{9}$: Подставляем $x = -\frac{4}{9}$ в уравнение параболы: $y = (-\frac{4}{9})^2 = \frac{16}{81}$. Получаем одну точку: $(-\frac{4}{9}, \frac{16}{81})$.

Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: $(3, 9)$, $(-3, 9)$, $(-\frac{4}{9}, \frac{16}{81})$.