Номер 402, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

402. Пересекаются ли графики уравнений x – y = –7 и x² + y² = 36? Найдите ответ графическим способом, а затем аналитическим.

Чтобы определить, пересекаются ли графики уравнений, нужно найти их общие точки. Это можно сделать двумя способами: графическим и аналитическим.

Графический способ

Первое уравнение $x - y = -7$ является линейным. Его можно переписать в виде $y = x + 7$. Графиком этого уравнения является прямая. Для ее построения найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 7$. Точка $(0, 7)$.
• Если $x = -7$, то $y = 0$. Точка $(-7, 0)$.

Второе уравнение $x^2 + y^2 = 36$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{36} = 6$.

Построим эти графики в одной системе координат. Окружность проходит через точки $(6, 0)$, $(-6, 0)$, $(0, 6)$ и $(0, -6)$. Прямая проходит через точки $(-7, 0)$ и $(0, 7)$.

При построении может быть сложно точно определить, пересекаются ли графики. Для более точного графического анализа можно найти расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x - y + 7 = 0$. Формула расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ выглядит так: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

В нашем случае $A=1$, $B=-1$, $C=7$, а точка $(x_0, y_0) = (0, 0)$.

$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 7|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \approx \frac{7}{1.414} \approx 4.95$

Радиус окружности равен $r = 6$. Поскольку расстояние от центра окружности до прямой ($d \approx 4.95$) меньше радиуса окружности ($r=6$), прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: графики пересекаются.

Аналитический способ

Чтобы найти точки пересечения аналитически, нужно решить систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y = -7 \\ x^2 + y^2 = 36 \end{cases} $$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = x + 7$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $x^2 + (x + 7)^2 = 36$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение: $x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 36$ $2x^2 + 14x + 49 - 36 = 0$ $2x^2 + 14x + 13 = 0$

Чтобы определить, есть ли у этого уравнения решения, найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 14^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13 = 196 - 104 = 92$

Поскольку дискриминант $D = 92 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что система уравнений имеет два решения, а значит, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: графики пересекаются.