Номер 407, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 407, страница 123.

Условие.

407. Составьте уравнение, графиком которого является:

а) пара прямых y = 2x и y = –2x;

б) парабола y = x² и прямая y = –2.

Решение 1.

Решение 8.

а) Чтобы найти одно уравнение, графиком которого является объединение двух или более графиков, можно использовать следующий метод. Если графики заданы уравнениями $F_1(x, y) = 0$, $F_2(x, y) = 0$, ..., $F_n(x, y) = 0$, то уравнение, описывающее их объединение, будет иметь вид $F_1(x, y) \cdot F_2(x, y) \cdot ... \cdot F_n(x, y) = 0$. Это работает, потому что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

В данном случае нам дана пара прямых: $y = 2x$ и $y = -2x$.

Сначала представим каждое уравнение в виде $F(x, y) = 0$:

1. $y = 2x \quad \Rightarrow \quad y - 2x = 0$

2. $y = -2x \quad \Rightarrow \quad y + 2x = 0$

Теперь перемножим левые части этих уравнений и приравняем результат к нулю, чтобы получить искомое общее уравнение:

$(y - 2x)(y + 2x) = 0$

Это выражение является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применим ее, где $a=y$ и $b=2x$:

$y^2 - (2x)^2 = 0$

$y^2 - 4x^2 = 0$

Таким образом, мы получили одно уравнение, графиком которого является пара заданных прямых.

Ответ: $y^2 - 4x^2 = 0$.

б) Используем тот же самый подход, что и в пункте а). Нам нужно составить уравнение, графиком которого является объединение параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2$.

Представим оба уравнения в виде $F(x, y) = 0$:

1. Для параболы: $y = x^2 \quad \Rightarrow \quad y - x^2 = 0$

2. Для прямой: $y = -2 \quad \Rightarrow \quad y + 2 = 0$

Теперь составим общее уравнение, перемножив левые части и приравняв произведение к нулю:

$(y - x^2)(y + 2) = 0$

Это уравнение удовлетворяет условию. Оно обращается в ноль, если $y - x^2 = 0$ (что соответствует параболе $y = x^2$) или если $y + 2 = 0$ (что соответствует прямой $y = -2$). Раскрывать скобки в данном случае не обязательно, так как полученное уравнение в явном виде показывает, из каких графиков состоит итоговый график.

Ответ: $(y - x^2)(y + 2) = 0$.